Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2023

Probabilidade condicional e a regra da multiplicação

Gabarito: letra C. Aplicando a regra da multiplicação para probabilidades condicionais, temos $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)$. Como $P(B) = P(A|B) = 1/2$, concluímos que $P(A) = 1/2$ (pois $P(A|B) = P(A \cap B)/P(B)$ e, se $P(A|B) = P(B)$, então $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, o que implica independência e $P(A) = P(A|B) = 1/2$). Assim, $P(A \cap B \cap C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

A questão explora a regra da multiplicação para três eventos, que generaliza a fórmula da probabilidade condicional. Para dois eventos, sabemos que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$. Para três eventos, a fórmula é:

O enunciado fornece diretamente $P(B) = 1/2$, $P(A|B) = 1/2$ e $P(C|A \cap B) = 1/2$. O passo crucial é perceber que $P(A|B) = P(B)$ implica $P(A) = P(B) = 1/2$. Isso decorre da definição de probabilidade condicional: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Se $P(A|B) = P(B)$, então $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(B)$, logo $P(A \cap B) = [P(B)]^2$. Mas, pela regra da multiplicação, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$. Igualando as duas expressões, obtemos $P(A) \cdot P(B|A) = [P(B)]^2$. Como $P(B|A) = P(B)$ (dado do enunciado), temos $P(A) \cdot P(B) = [P(B)]^2$, e como $P(B) \neq 0$, segue que $P(A) = P(B) = 1/2$.

Outra forma de ver: a igualdade $P(A|B) = P(B)$ é uma condição de independência entre A e B (pois $P(A|B) = P(A)$ é a definição usual de independência; aqui, como $P(A|B) = P(B)$, e também $P(B|A) = P(B)$, temos $P(A) = P(B)$). Portanto, $P(A) = 1/2$.

Agora, substituímos na fórmula da multiplicação:

A pegadinha está em não perceber que $P(A)$ não foi dado diretamente, mas pode ser obtido a partir de $P(B)$ e $P(A|B)$. Muitos candidatos tentam usar $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ sem verificar a independência, ou simplesmente multiplicam $P(B) \cdot P(A|B) \cdot P(C|A \cap B)$ sem notar que isso já dá o resultado, pois $P(A|B)$ já é a probabilidade condicional de A dado B, e a fórmula correta usa $P(A)$, não $P(A|B)$. Na verdade, a fórmula correta é $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)$, e como $P(B|A) = P(B) = 1/2$ e $P(A) = 1/2$, o produto é $1/8$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$1/2$ seria o resultado se apenas um dos fatores fosse considerado, ou se houvesse confusão entre $P(A)$ e $P(A|B)$. Não corresponde ao produto das três probabilidades.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$1/4$ seria o resultado se multiplicássemos apenas duas probabilidades de $1/2$ (por exemplo, $P(A) \cdot P(B)$), esquecendo o terceiro fator $P(C|A \cap B)$.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $P(A \cap B \cap C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$1/16$ seria o resultado se multiplicássemos quatro fatores de $1/2$, o que não ocorre. É um distrator que explora a contagem errada do número de probabilidades envolvidas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$1/32$ seria o resultado se multiplicássemos cinco fatores de $1/2$, o que também não ocorre. É outro distrator numérico sem fundamento no problema.

Gabarito: letra C