Questão de Estatística — Modelos lineares — FGV 2023

Regressão Linear Simples: Coeficiente Angular Nulo

Gabarito: letra C. Se o coeficiente angular ($\beta_1$) é zero, a covariância entre as variáveis é nula. Isso decorre diretamente da fórmula do estimador de mínimos quadrados: $\hat{\beta}_1 = \frac{Cov(X,Y)}{Var(X)}$. Se o numerador (a covariância) fosse diferente de zero, o coeficiente angular também seria, pois a variância de $X$ é sempre positiva (para $X$ não constante). Portanto, $\beta_1 = 0$ implica $Cov(X,Y) = 0$.

A regressão linear simples modela a relação entre uma variável dependente $Y$ e uma variável independente $X$ por meio da equação $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon$, onde $\beta_0$ é o intercepto, $\beta_1$ é o coeficiente angular e $\varepsilon$ é o erro aleatório com média zero. O coeficiente angular mede a variação esperada em $Y$ para cada aumento unitário em $X$. Quando $\beta_1 = 0$, a reta de regressão é horizontal, indicando que, em média, $Y$ não varia com $X$ — ou seja, não há relação linear entre as variáveis.

A relação entre o coeficiente angular e a covariância é fundamental: o estimador de mínimos quadrados para $\beta_1$ é dado por $\hat{\beta}_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}$, onde $S_{xy} = \sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})$ é a soma de produtos (proporcional à covariância) e $S_{xx} = \sum (X_i - \bar{X})^2$ é a soma de quadrados de $X$ (proporcional à variância). Como $S_{xx} > 0$ (a menos que todos os $X$ sejam iguais), se $\hat{\beta}_1 = 0$, então $S_{xy} = 0$, e consequentemente a covariância amostral $Cov(X,Y) = \frac{S_{xy}}{n-1} = 0$.

A pegadinha da questão está na alternativa E: "não existe nenhuma relação entre as variáveis". Isso é uma generalização indevida. O coeficiente angular nulo indica apenas ausência de relação linear; pode existir uma relação não linear (quadrática, exponencial, etc.) entre as variáveis. Por exemplo, se $Y = X^2$, a covariância entre $X$ e $Y$ pode ser zero, mas há uma clara relação funcional. Portanto, a conclusão correta é apenas que a covariância é nula, não que não há relação alguma.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O intercepto ($\beta_0$) é o valor esperado de $Y$ quando $X = 0$. Ele é independente do coeficiente angular. Um coeficiente angular nulo não impõe nenhuma restrição sobre o intercepto; a reta pode cruzar o eixo $Y$ em qualquer ponto. Por exemplo, o modelo $Y = 5 + 0 \cdot X$ tem intercepto 5 e coeficiente angular 0.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O tamanho da amostra não tem relação direta com o valor do coeficiente angular. Um coeficiente angular nulo pode ocorrer com qualquer tamanho de amostra, desde que a covariância amostral seja zero. A insuficiência da amostra afeta a precisão das estimativas (erros padrão maiores), mas não determina o valor pontual do coeficiente.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $\hat{\beta}_1 = \frac{Cov(X,Y)}{Var(X)}$. Se $\hat{\beta}_1 = 0$ e $Var(X) > 0$, então $Cov(X,Y) = 0$. Essa é a conclusão matemática direta e inequívoca.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A dispersão das observações refere-se à variabilidade dos dados, medida pela variância ou desvio padrão. Um coeficiente angular nulo não implica que as observações sejam excessivamente dispersas; elas podem estar bem concentradas em torno de uma reta horizontal. A dispersão é uma característica dos dados, não uma consequência do coeficiente angular.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta é a pegadinha clássica. O coeficiente angular nulo indica ausência de relação linear, mas não exclui a possibilidade de relações não lineares. Por exemplo, se $Y = X^2$, a covariância entre $X$ e $Y$ pode ser zero (dependendo da distribuição de $X$), mas existe uma relação clara. Portanto, não se pode afirmar que "não existe nenhuma relação" — apenas que não há relação linear.

Gabarito: letra C