Questão de Estatística — Modelos lineares — FGV 2023

Modelagem estatística: regressão, multicolinearidade e estimadores

Gabarito: letra D. A alternativa correta afirma que os estimadores de máxima verossimilhança dos parâmetros do modelo de regressão logística são não viciados e de variância mínima. Essa é uma propriedade assintótica dos estimadores de máxima verossimilhança (EMV), que, sob condições de regularidade, são consistentes, assintoticamente não viciados e assintoticamente eficientes (atingem a variância mínima, dada pela informação de Fisher). As demais alternativas contêm erros conceituais sobre resíduos, multicolinearidade, medidas de influência e teste t.

A questão cobra conceitos fundamentais de modelagem estatística, especialmente sobre regressão linear e logística. Vamos analisar cada alternativa em detalhe, identificando o erro específico de cada uma e a fundamentação da correta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A afirmação de que "em um modelo de regressão simples, os resíduos padronizados são correlacionados" está errada. Na regressão linear simples, os resíduos (ou erros) são, por premissa do modelo, independentes e identicamente distribuídos, com média zero e variância constante. Os resíduos padronizados (ou studentizados) são uma transformação dos resíduos brutos, divididos pelo seu desvio padrão estimado, e mantêm a propriedade de independência. A correlação entre resíduos indicaria violação da premissa de independência, o que não é esperado em um modelo bem especificado. O erro aqui é afirmar que eles são correlacionados, quando a premissa é justamente o contrário.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A multicolinearidade ocorre quando há alta correlação entre as variáveis regressoras (independentes), não quando são ortogonais. Regressores ortogonais são, por definição, não correlacionados (correlação zero), o que é o cenário ideal, sem problemas de multicolinearidade. A multicolinearidade é um problema que inflaciona a variância dos estimadores dos coeficientes, tornando-os instáveis e difíceis de interpretar individualmente. A alternativa inverte o conceito: ortogonalidade é a ausência de multicolinearidade, não sua causa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

As medidas de influência (como a distância de Cook, leverage, DFFITS) são importantes para detectar observações que têm grande influência sobre os parâmetros estimados do modelo, ou seja, pontos que, se removidos, alteram substancialmente as estimativas. Elas não são usadas primariamente para detectar valores discrepantes (outliers) em si, mas sim para identificar pontos que exercem influência desproporcional no ajuste. Um outlier pode ou não ser influente; a influência depende tanto do valor do resíduo quanto da posição da observação no espaço das variáveis explicativas (leverage). A alternativa confunde os conceitos de outlier e ponto influente.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a alternativa correta. Os estimadores de máxima verossimilhança (EMV) dos parâmetros de um modelo de regressão logística possuem propriedades assintóticas desejáveis: são consistentes, assintoticamente não viciados e assintoticamente eficientes (atingem a variância mínima, a chamada eficiência assintótica). Em amostras grandes, a distribuição dos EMV se aproxima de uma normal, com média igual ao valor verdadeiro do parâmetro e variância dada pela inversa da informação de Fisher. Essas propriedades são fundamentais para a inferência estatística em modelos de regressão logística, permitindo a construção de testes de hipóteses e intervalos de confiança.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Quando se rejeita a hipótese nula de significância utilizando o teste t para um regressor, isso significa que aquele coeficiente específico é estatisticamente diferente de zero, ao nível de significância fixado. O teste t é um teste individual, ou seja, testa a significância de cada coeficiente separadamente, mantendo os demais constantes. A rejeição da hipótese nula para um regressor não implica que todos os coeficientes dos regressores considerados são diferentes de zero. Para testar a significância conjunta de todos os coeficientes, utiliza-se o teste F (ou teste de razão de verossimilhança). A alternativa generaliza indevidamente o resultado de um teste individual para todos os coeficientes.

Gabarito: letra D