Estatística · FGV · 2023 | Questão sqc-fg072857

Teste de hipóteses para proporção

Gabarito: letra A. A alegação do fabricante é provavelmente falsa. O auditor testa a hipótese nula de que a proporção de defeituosos é de no máximo 5% (p ≤ 0,05). Com 17 defeituosos em 200, a proporção amostral é 8,5%, e a estatística de teste calculada é aproximadamente 2,27, que é maior que o valor crítico 2 (em módulo). Portanto, rejeita-se a hipótese nula ao nível de 5% de significância, concluindo que a alegação é provavelmente falsa.

O problema envolve um teste de hipóteses para uma proporção. O fabricante afirma que, no mínimo, 95% dos produtos estão dentro das especificações, ou seja, a proporção de defeituosos é de no máximo 5% (p ≤ 0,05). O auditor, desconfiado, coleta uma amostra de 200 peças e encontra 17 defeituosas, o que dá uma proporção amostral de defeituosos de $\hat{p} = 17/200 = 0,085$ (8,5%).

A pergunta é: essa evidência amostral é suficiente para refutar a alegação do fabricante? Para responder, montamos um teste de hipóteses:

Hipótese nula ( $H_0$ ): $p \leq 0,05$ (a alegação do fabricante é verdadeira)
Hipótese alternativa ( $H_1$ ): $p > 0,05$ (a alegação é falsa, a proporção de defeituosos é maior que 5%)

A estatística de teste para proporção, aproximando a binomial pela normal, é:

z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 (1 - p_0)}{n}}}

Substituindo os valores: $\hat{p} = 0,085$ , $p_0 = 0,05$ , $n = 200$ :

z = \frac{0,085 - 0,05}{\sqrt{\frac{0,05 \times 0,95}{200}}} = \frac{0,035}{\sqrt{0,0002375}} = \frac{0,035}{0,01541} \approx 2,27

O enunciado fornece uma simplificação: rejeita-se a hipótese nula para estatísticas maiores que 2, em módulo. Como $z \approx 2,27 > 2$ , rejeitamos $H_0$ ao nível de 5% de significância.

Isso significa que a evidência amostral é forte o suficiente para concluir que a alegação do fabricante é provavelmente falsa — não podemos afirmar com certeza absoluta (pois há sempre uma probabilidade de erro, o nível de significância), mas a hipótese nula é rejeitada, indicando que a proporção real de defeituosos provavelmente excede 5%.

A distinção crucial aqui é entre "provavelmente" e "certamente". Em testes de hipóteses, nunca se conclui com certeza absoluta; sempre há uma margem de erro (o nível de significância, aqui 5%). Por isso, as alternativas com "certamente" estão incorretas. A alternativa E também é incorreta, pois o teste é perfeitamente verificável com os dados fornecidos.

Hipótese	Condição	Estatística z	Valor crítico	Decisão	Conclusão
H₀: p ≤ 0,05 (alegação verdadeira)	z > 2 (rejeita H₀)	z ≈ 2,27	2	Rejeita-se H₀	Provavelmente falsa
H₀: p ≤ 0,05 (alegação verdadeira)	z ≤ 2 (não rejeita H₀)	z ≤ 2	2	Não se rejeita H₀	Provavelmente verdadeira

H0 verdadeira

H0 falsa

Rejeita

Erro tipo I

Correto

Não rejeita

Correto

Erro tipo II

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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A estatística de teste calculada ( $z \approx 2,27$ ) é maior que o valor crítico de 2, então rejeitamos a hipótese nula de que a proporção de defeituosos é no máximo 5%. Isso indica que a alegação do fabricante é provavelmente falsa — a palavra "provavelmente" é adequada porque a decisão estatística está sujeita a erro (nível de significância de 5%), não sendo uma certeza absoluta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a alegação é "certamente falsa". Em testes de hipóteses, nunca se conclui com certeza absoluta; sempre há uma probabilidade de erro (aqui, 5%). A rejeição da hipótese nula indica que a alegação é provavelmente falsa, não certamente falsa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a alegação é "provavelmente verdadeira". Isso ocorreria se a estatística de teste fosse menor que o valor crítico, ou seja, se não houvesse evidência suficiente para rejeitar $H_0$ . Como $z \approx 2,27 > 2$ , rejeitamos $H_0$ , então a alegação não é provavelmente verdadeira.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a alegação é "certamente verdadeira". Além de o teste indicar rejeição (o que já contraria a veracidade), a certeza absoluta não é possível em inferência estatística. Mesmo que não houvesse rejeição, a conclusão seria "provavelmente verdadeira", nunca "certamente".

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que é "impossível de ser verificada". Isso é falso: o teste de hipóteses é exatamente o procedimento para verificar a alegação, e os dados fornecidos (200 peças, 17 defeituosas) são suficientes para realizar o teste e chegar a uma conclusão.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato com as palavras "provavelmente" e "certamente". Em testes de hipóteses, a conclusão nunca é certa — há sempre uma margem de erro (o nível de significância). Por isso, as alternativas com "certamente" (B e D) são sempre incorretas. Além disso, o candidato pode errar o cálculo da estatística de teste, esquecendo de usar o desvio padrão da proporção sob a hipótese nula ( $\sqrt{p_0(1-p_0)/n}$ ) em vez do desvio padrão amostral.

PEGA ESSA DICA!

Para testes de hipóteses sobre proporções, memorize a fórmula da estatística de teste: $z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$ . E lembre-se: a conclusão é sempre "provavelmente" (rejeita ou não rejeita $H_0$ ), nunca "certamente". Se a estatística calculada for maior que o valor crítico (em módulo), rejeita-se $H_0$ ; caso contrário, não se rejeita.

Gabarito: letra A