Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2023

Erro padrão da média e tamanho da amostra

Gabarito: letra D. O erro da estimativa do tempo médio de atendimento seria menor com uma amostra de 60 pacientes, pois o erro padrão da média é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho da amostra. Aumentar o tamanho da amostra de 30 para 60 reduz o erro padrão por um fator de $\sqrt{2}$, tornando a estimativa mais precisa.

O erro padrão da média amostral ($\bar{X}$) é dado por $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, onde $\sigma$ é o desvio padrão populacional e $n$ é o tamanho da amostra. Quando o desvio padrão populacional é desconhecido, estimamos o erro padrão usando o desvio padrão amostral $s$: $s_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{n}}$.

Nesta questão, com $n = 30$ e $s = 4$ minutos, o erro padrão estimado é $s_{\bar{X}} = \frac{4}{\sqrt{30}} \approx 0,73$ minutos. Se a amostra fosse de $n = 60$ pacientes, o erro padrão estimado seria $s_{\bar{X}} = \frac{4}{\sqrt{60}} \approx 0,52$ minutos. Ou seja, ao dobrar o tamanho da amostra, o erro padrão é reduzido por um fator de $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,707$, o que representa uma redução de aproximadamente 29,3% no erro da estimativa.

A pegadinha da banca está em confundir o efeito do tamanho da amostra sobre a estimativa pontual (a média amostral) com o efeito sobre a precisão dessa estimativa (o erro padrão). A média amostral é um estimador não viesado da média populacional, ou seja, seu valor esperado é igual ao parâmetro populacional, independentemente do tamanho da amostra. Portanto, aumentar a amostra não torna a estimativa pontual maior ou menor — ela continua sendo uma estimativa não viesada. O que muda é a precisão: com mais dados, a distribuição amostral da média fica mais concentrada em torno do valor verdadeiro, reduzindo o erro padrão.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a estimativa do tempo médio seria menor com uma amostra maior. Isso é incorreto porque a média amostral é um estimador não viesado da média populacional. O valor esperado da média amostral é sempre igual à média populacional, independentemente do tamanho da amostra. Aumentar a amostra não torna a estimativa sistematicamente menor ou maior — apenas a torna mais precisa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a estimativa do tempo médio seria maior com uma amostra maior. Pelo mesmo motivo da alternativa A, isso é incorreto. A média amostral não tem viés, ou seja, seu valor esperado é o parâmetro populacional. O tamanho da amostra não altera a tendência central da estimativa, apenas reduz sua variabilidade.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o erro da estimativa seria maior com uma amostra de 60 pacientes. Isso contraria diretamente a relação entre tamanho da amostra e erro padrão. Como $s_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{n}}$, aumentar $n$ diminui o erro padrão. Com $n = 60$, o erro padrão seria menor do que com $n = 30$, não maior.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que o erro da estimativa do tempo médio de atendimento dos pacientes seria menor. Isso está correto, pois o erro padrão da média é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho da amostra. Com $n = 60$, o erro padrão estimado é $\frac{4}{\sqrt{60}} \approx 0,52$ minutos, menor do que os $\frac{4}{\sqrt{30}} \approx 0,73$ minutos com $n = 30$. A estimativa fica mais precisa com uma amostra maior.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que nada poderia ser afirmado sobre o erro da estimativa. Isso é incorreto, pois a relação entre o erro padrão e o tamanho da amostra é bem estabelecida na teoria da inferência estatística. Sabemos exatamente que o erro padrão diminui quando o tamanho da amostra aumenta, desde que a amostra seja aleatória e as observações sejam independentes.

Gabarito: letra D