Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2023

Função densidade de probabilidade: normalização

Gabarito: letra E. Para que $f(x) = kx^3$ seja uma função densidade de probabilidade no intervalo $0 \le x \le 2$, a integral de $f(x)$ sobre todo o domínio deve ser igual a 1. Resolvendo $\int_0^2 kx^3\,dx = 1$, obtemos $k = 4$.

Uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória contínua deve satisfazer duas condições: ser não negativa em todo o domínio e ter área total sob a curva igual a 1. A segunda condição é a que usamos para determinar a constante $k$ — é a chamada condição de normalização. A integral de $f(x)$ de $0$ a $2$ representa a probabilidade total do espaço amostral, que deve ser 1.

A banca explora exatamente esse conceito: dado um formato de curva (aqui, uma potência cúbica), o candidato deve encontrar o fator que "normaliza" a área. A pegadinha está em esquecer de integrar e apenas testar valores, ou errar o cálculo da integral definida.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Se $k = 0$, a função seria identicamente nula e a área sob a curva seria 0, não 1. Isso violaria a condição de normalização — a probabilidade total não pode ser zero.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Com $k = 1$, a integral $\int_0^2 x^3\,dx = \frac{2^4}{4} = 4$, que é diferente de 1. Portanto, $k = 1$ não normaliza a função.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Com $k = 2$, a integral seria $2 \times 4 = 8$, ainda diferente de 1. O valor de $k$ precisa ser tal que a área total seja exatamente 1.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Com $k = 3$, a integral seria $3 \times 4 = 12$, também diferente de 1. O candidato que escolhe esta opção provavelmente calculou a integral de $x^3$ como $\frac{x^4}{4}$ mas errou ao aplicar o limite superior ou esqueceu de dividir pelo resultado da integral.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Calculando a integral definida:

Igualando a 1 (condição de normalização):

Portanto, $k = 4$ é o valor que torna a área total igual a 1. A alternativa E é a correta.

Gabarito: letra E