Estatística · FGV · 2023 | Questão sqc-fg072863

Inferência estatística: proporção amostral e o intervalo de 3 desvios

Gabarito: letra E. O julgador concedeu liminares em 780 de 900 processos, ou seja, uma proporção amostral de 86,7%, enquanto a proporção histórica é de 80% (8.000 em 10.000). A diferença de 6,7 pontos percentuais é estatisticamente significativa, pois está muito além de 3 desvios padrão da proporção esperada — o que indica que ele concede liminares acima do normal.

A questão trabalha com a distribuição amostral da proporção e a regra empírica (ou regra 68-95-99,7) da distribuição normal. Quando temos uma população grande e uma amostra suficientemente grande, a distribuição das proporções amostrais se aproxima de uma normal com média igual à proporção populacional (p) e desvio padrão dado por:

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

Nesse caso, a proporção populacional (histórica) é $p = 0{,}80$ (8.000 em 10.000). Para uma amostra de $n = 900$ processos, o desvio padrão da proporção amostral é:

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0{,}80 \times 0{,}20}{900}} = \sqrt{\frac{0{,}16}{900}} = \sqrt{0{,}0001778} \approx 0{,}0133

A proporção observada pelo julgador é $\hat{p} = 780/900 = 0{,}8667$ . A distância entre a proporção observada e a esperada, em número de desvios padrão (escore z), é:

z = \frac{\hat{p} - p}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0{,}8667 - 0{,}80}{0{,}0133} \approx \frac{0{,}0667}{0{,}0133} \approx 5{,}0

Ou seja, a proporção observada está a 5 desvios padrão acima da média. A regra empírica estabelece que, em uma distribuição normal, aproximadamente 99,7% dos dados estão dentro de 3 desvios padrão da média. Um valor a 5 desvios padrão é extremamente improvável de ocorrer por acaso — a probabilidade de um valor tão extremo é inferior a 0,0001%. Portanto, a diferença é estatisticamente significativa, e podemos inferir que o julgador concede liminares acima do normal.

A pegadinha da questão está em não calcular o desvio padrão da proporção amostral e simplesmente comparar 86,7% com 80%, achando que a diferença é pequena. Mas, com uma amostra de 900 processos, o desvio padrão é pequeno (cerca de 1,33 ponto percentual), e uma diferença de 6,7 pontos percentuais corresponde a 5 desvios padrão — um afastamento enorme.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Não há nenhuma informação sobre a carga de trabalho do julgador. A questão trata apenas da proporção de liminares concedidas, não do volume de processos ou do tempo de trabalho. A sobrecarga é um conceito subjetivo e não pode ser inferida a partir dos dados apresentados.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A proporção observada (86,7%) é superior à proporção histórica (80%), não inferior. O julgador concede liminares acima da média, não abaixo. A alternativa inverte o sentido da comparação.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A inferência estatística permite concluir que o julgador está acima do normal, mas não que ele concede mais liminares que qualquer outro julgador. Não temos dados sobre todos os julgadores individualmente — apenas sobre a proporção histórica agregada. A afirmação é forte demais para os dados disponíveis.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A probabilidade de conceder liminar não é de 50%, mas de 80% (a proporção histórica). A alternativa confunde a proporção observada com uma suposta aleatoriedade de 50%, o que não tem respaldo nos dados. A proporção de 80% é o parâmetro de referência, e o julgador se afasta dele significativamente.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A proporção observada de 86,7% está a aproximadamente 5 desvios padrão acima da proporção esperada de 80%. Pela regra empírica, valores além de 3 desvios padrão são extremamente improváveis em uma distribuição normal, indicando que a diferença não é devida ao acaso. Portanto, estatisticamente, o julgador concede liminares acima do normal.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a comparação intuitiva entre 86,7% e 80%, que parece uma diferença pequena. Mas o que importa é a distância em desvios padrão, não em pontos percentuais. Com n = 900, o desvio padrão da proporção é de apenas 1,33 ponto percentual, então uma diferença de 6,7 pontos equivale a 5 desvios — um afastamento gigantesco. Sempre calcule o desvio padrão da proporção antes de julgar se uma diferença é significativa!

PEGA ESSA DICA!

Para questões de inferência sobre proporções, siga o roteiro: (1) identifique a proporção populacional $p$ ; (2) calcule o desvio padrão da proporção amostral com $\sqrt{p(1-p)/n}$ ; (3) calcule o escore z com $(\hat{p} - p)/\sigma_{\hat{p}}$ ; (4) compare com os limites da regra empírica (1, 2 ou 3 desvios). Se |z| > 3, a diferença é altamente significativa.

Gabarito: letra E