Estatística · FGV · 2023 | Questão sqc-fg072864

Teoria das Filas: Modelo M/M/1

Gabarito: letra E. O tempo médio de espera na fila é de 16 minutos. Isso decorre da aplicação das fórmulas do modelo de fila M/M/1 (chegadas e atendimentos com distribuição de Poisson/exponencial, um único servidor), em que a taxa de chegada é λ = 12 pessoas/hora e a taxa de atendimento é μ = 15 pessoas/hora. O fator de utilização é ρ = λ/μ = 0,8, e o tempo médio de espera na fila é dado por Wq = ρ/(μ − λ), resultando em 0,8/(15 − 12) = 0,2667 horas = 16 minutos.

A questão exige o domínio das fórmulas básicas da teoria das filas, especificamente do modelo M/M/1, que é o mais simples e o mais cobrado em concursos. Nesse modelo, as chegadas seguem um processo de Poisson (intervalos entre chegadas exponenciais), os tempos de serviço são exponenciais e há um único atendente. As principais medidas de desempenho são:

Utilização do servidor (ρ): ρ = λ/μ, que representa a fração do tempo em que o servidor está ocupado. Para que a fila seja estável, é necessário que ρ < 1 (ou seja, λ < μ).
Número médio de clientes na fila (Lq): Lq = ρ²/(1 − ρ).
Número médio de clientes no sistema (L): L = ρ/(1 − ρ).
Tempo médio de espera na fila (Wq): Wq = Lq/λ = ρ/(μ − λ).
Tempo médio no sistema (W): W = L/λ = 1/(μ − λ).

A pegadinha clássica da banca é confundir o tempo médio de espera na fila (Wq) com o tempo médio no sistema (W), que inclui o tempo de atendimento. No caso, o tempo médio no sistema seria W = 1/(15 − 12) = 1/3 hora = 20 minutos. A alternativa E (16 minutos) corresponde exatamente ao Wq, enquanto a alternativa D (9 minutos) poderia ser obtida por um cálculo incorreto, como veremos.

Vamos aplicar os dados do enunciado:

λ = 12 pessoas/hora
μ = 15 pessoas/hora
ρ = λ/μ = 12/15 = 0,8

Tempo médio de espera na fila (Wq):

W_q = \frac{\rho}{\mu - \lambda} = \frac{0,8}{15 - 12} = \frac{0,8}{3} = 0,2667 \text{ horas}

Convertendo para minutos: 0,2667 × 60 = 16 minutos.

Tempo médio no sistema (W):

W = \frac{1}{\mu - \lambda} = \frac{1}{3} \text{ horas} = 20 \text{ minutos}

Número médio na fila (Lq):

L_q = \frac{\rho^2}{1 - \rho} = \frac{0,64}{0,2} = 3,2 \text{ pessoas}

Número médio no sistema (L):

L = \frac{\rho}{1 - \rho} = \frac{0,8}{0,2} = 4 \text{ pessoas}

Teoria das Filas M/M/1 — só Chegadas: 12/h; só Atendimentos: 15/h; Chegadas∩Atendimentos: ρ=0,8

Alternativa A — ❌ Incorreta

4 minutos é o tempo médio de atendimento (1/μ = 1/15 hora = 4 minutos), não o tempo de espera na fila. O candidato que confunde o tempo de serviço com o tempo de espera cai nessa alternativa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

5 minutos não corresponde a nenhuma medida direta do modelo. Pode ser um distrator puro, sem relação com as fórmulas.

Alternativa C — ❌ Incorreta

6 minutos também não é um resultado das fórmulas do M/M/1. Talvez o candidato calcule 60/12 = 5 (intervalo médio entre chegadas) e some 1 minuto, mas não há base teórica.

Alternativa D — ❌ Incorreta

9 minutos é um distrator interessante: pode ser obtido calculando 60/(15−12) = 20 minutos e depois subtraindo o tempo de atendimento (4 minutos) de forma incorreta, ou ainda 60/15 = 4 e 60/12 = 5, somando 4+5 = 9. Mas o correto é aplicar a fórmula Wq = ρ/(μ−λ).

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

16 minutos é exatamente o resultado de Wq = 0,8/(15−12) = 0,2667 horas = 16 minutos. A alternativa espelha o cálculo correto do tempo médio de espera na fila.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre tempo de espera na fila (Wq) e tempo no sistema (W). O tempo no sistema inclui o atendimento e seria 20 minutos, que nem aparece nas alternativas. Além disso, 4 minutos (alternativa A) é o tempo médio de serviço, não de espera. Fique atento: a fórmula de Wq usa ρ no numerador, e não 1. Se você usar W = 1/(μ−λ), acharia 20 minutos, que não está listado — sinal de que a banca quer o Wq.

PEGA ESSA DICA!

Para não errar, decore as fórmulas do M/M/1 e identifique o que a questão pede: "espera na fila" = Wq; "tempo no sistema" = W. Na hora da prova, escreva λ e μ com as unidades (pessoas/hora) e verifique se ρ < 1. Se a questão der o tempo de atendimento (4 min), converta para hora (1/15 h) antes de usar.

Gabarito: letra E