Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2023

Distribuição Uniforme Discreta e o Lançamento de um Dado

Gabarito: letra D. O lançamento de um dado de seis faces, não viciado, segue uma distribuição uniforme discreta, em que cada face tem probabilidade igual de 1/6. A alternativa D está correta porque, ao considerar os lançamentos sucessivos do dado, o experimento pode ser modelado por uma distribuição multinomial, que generaliza a binomial para mais de duas categorias (as seis faces). As demais alternativas apresentam erros conceituais ou numéricos.

A distribuição uniforme discreta é aquela em que todos os valores possíveis da variável aleatória têm a mesma probabilidade de ocorrência. No caso de um dado não viciado, cada face (1, 2, 3, 4, 5, 6) tem probabilidade de 1/6. Essa é a característica central que define o comportamento do experimento. A distribuição multinomial, por sua vez, é uma generalização da distribuição binomial: enquanto a binomial modela experimentos com apenas dois resultados possíveis (sucesso e fracasso), a multinomial modela experimentos com k resultados possíveis, cada um com sua probabilidade. No lançamento de um dado, há seis resultados possíveis, cada um com probabilidade 1/6, o que se encaixa perfeitamente na definição de distribuição multinomial.

A banca explora aqui a confusão entre a distribuição do resultado de um único lançamento (uniforme discreta) e a distribuição do número de ocorrências de cada face em múltiplos lançamentos (multinomial). O enunciado fala em "lançamentos" (plural), o que remete à distribuição multinomial, que descreve exatamente a contagem de cada face em n lançamentos.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor esperado do resultado de um dado não viciado é a média dos valores das faces: (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5. A alternativa afirma que o valor esperado é três, o que está incorreto. O valor 3 é apenas uma das faces, não a média.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Uma distribuição é unimodal quando possui uma única moda, ou seja, um único valor com a maior frequência. Na distribuição uniforme discreta, todos os valores têm a mesma probabilidade, portanto não há moda (ou, em algumas definições, todos os valores são modais). A alternativa afirma que a distribuição é unimodal, o que é falso.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A probabilidade de o resultado ser igual a seis é 1/6, que é aproximadamente 0,1667. A alternativa afirma que essa probabilidade é menor que 0,16, o que é falso, pois 0,1667 > 0,16.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A distribuição multinomial é a generalização da binomial para experimentos com mais de dois resultados possíveis. No lançamento de um dado, há seis resultados possíveis (as faces), cada um com probabilidade 1/6. Ao considerar n lançamentos, a contagem de cada face segue uma distribuição multinomial com parâmetros n e probabilidades (1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6). Portanto, a alternativa está correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A média do dado é 3,5. A mediana, por ser o valor central, também é 3,5 (pois há três valores abaixo e três acima). A moda, porém, não existe (ou todos os valores são modais), pois todos têm a mesma probabilidade. Portanto, média e mediana coincidem, mas a moda não, tornando a afirmação incorreta.

Gabarito: letra D