Matemática Financeira · FGV · 2023 | Questão sqc-fg073467

Matemática FinanceiraConceitos fundamentais de Matemática Financeira

Código: fg073467
Banca: FGV
Órgão: AGENERSA - RJ
Ano: 2023
Nível: Superior

Aurélio pretende fazer um empréstimo a ser quitado em 4 anos com pagamentos consecutivos anuais postecipados. Aurélio pode optar por contratar esse empréstimo pelo Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), pelo Sistema de Amortizações Constantes (Tabela SAC) ou pelo Sistema de Amortização Misto (SAM).Caso ele opte pela Tabela Price, as prestações terão o valor de R$ 41.472,00. Nesse caso, a amortização do saldo devedor proporcionado pelo pagamento da 1ª parcela será de R$ 20.000,00.Obs.: a taxa de juros será de 20% a.a., independentemente do sistema de amortização escolhido.Caso Aurélio decida contratar esse empréstimo pelo SAM, o valor da 1ª parcela será de

AR$ 48.312,00.
BR$ 46.252,00.
CR$ 45.796,00.
DR$ 44.892,00.
ER$ 44.516,00.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — R$ 44.892,00.

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Sistemas de Amortização – SAM

Gabarito: letra D. A primeira prestação no Sistema de Amortização Misto (SAM) é a média aritmética entre a prestação do Price (R$ 41.472,00) e a primeira prestação do SAC, que é R$ 48.312,00. Essa média resulta em R$ 44.892,00.

Para chegar a esse valor, primeiro calculamos o valor do empréstimo (P) a partir dos dados fornecidos para a Tabela Price. Sabemos que:

Prestação Price (R) = R$ 41.472,00
Amortização na 1ª prestação (A₁) = R$ 20.000,00
Taxa de juros (i) = 20% a.a. = 0,2

Como a prestação é composta de amortização + juros, os juros da primeira prestação (J₁) são:

J_1 = R - A_1 = 41.472 - 20.000 = 21.472

Os juros são calculados sobre o saldo devedor inicial (SD₀), que é o valor do empréstimo:

J_1 = i \times SD_0 \Rightarrow SD_0 = \frac{J_1}{i} = \frac{21.472}{0,2} = 107.360

Portanto, o valor do empréstimo é P = R$ 107.360,00.

Agora, no SAC, com n = 4, a amortização constante é:

Amort = \frac{P}{n} = \frac{107.360}{4} = 26.840

A primeira prestação no SAC (t=1) é:

Juros₁ = i × SD₀ = 0,2 × 107.360 = 21.472
Prestação₁_SAC = Amort + Juros₁ = 26.840 + 21.472 = 48.312

O SAM define a prestação em cada período como a média aritmética das prestações do Price (constante) e do SAC naquele período:

Prestação₁_{SAM} = \frac{Prestação₁_{Price} + Prestação₁_{SAC}}{2} = \frac{41.472 + 48.312}{2} = \frac{89.784}{2} = 44.892

Assim, o valor da primeira parcela no SAM é R$ 44.892,00.

11. Achar SD₀ via PriceJ₁ = R - A₁ = 41.472 - 20.000 = 21.472 SD₀ = J₁ / i = 21.472 / 0,2 = 107.360
22. Amortização SACAmort = SD₀ / n = 107.360 / 4 = 26.840
33. 1ª prestação SACJ₁ = 0,2 × 107.360 = 21.472 P₁_SAC = 26.840 + 21.472 = 48.312
44. Média Price + SACP₁_SAM = (41.472 + 48.312) / 2 = 44.892

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Alternativa A — ❌ Incorreta

R$ 48.312,00 é o valor da primeira prestação no SAC, não no SAM. O candidato pode confundir os sistemas.

Alternativa B — ❌ Incorreta

R$ 46.252,00 não corresponde a nenhuma prestação direta; provavelmente resultado de um cálculo equivocado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

R$ 45.796,00 também é um valor que não resulta da média correta.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

R$ 44.892,00, conforme demonstrado acima.

Alternativa E — ❌ Incorreta

R$ 44.516,00 não é a média aritmética entre as prestações do Price e do SAC.

PEGA ESSA DICA!

Para questões do SAM, lembre-se sempre de calcular primeiro a prestação no SAC (amortização constante) e depois tirar a média com a prestação do Price. A informação sobre a amortização da primeira prestação Price geralmente permite encontrar o valor do empréstimo.

Gabarito: letra D

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