Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2023

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 48 (alternativa B).

A ideia por trás

Uma operação definida no enunciado é uma regra própria que associa dois números a um resultado, como uma 'receita' que deve ser seguida exatamente. Neste caso, a&b = 2a + b significa: pegue o primeiro número, multiplique por 2, e some o segundo número. Essa operação não é comutativa, ou seja, a ordem importa: a&b geralmente é diferente de b&a. Para cada elemento x do conjunto A, calculamos x&4 substituindo a por x e b por 4 na regra, obtendo 2x + 4. O conjunto B é formado por esses resultados, e a questão pede a soma deles. O ponto central é aplicar a regra corretamente, sem inverter a ordem dos termos e sem esquecer de multiplicar por 2.

O que a questão dá

• A = {2, 3, 5, 6}

• operação: a&b = 2a + b

• B = {y | y = x&4, para cada x em A}

O que queremos: a soma dos elementos de B

Passo 1 — Substituir a regra para b = 4

Precisamos transformar a operação x&4 em uma expressão algébrica simples, para depois calcular cada valor. A regra a&b = 2a + b diz que o primeiro número (a) é multiplicado por 2 e o segundo (b) é somado. Aqui, a = x e b = 4, então substituímos diretamente.

Por que esta fórmula: A operação é definida no enunciado, então usamos exatamente essa definição, trocando a por x e b por 4.

De onde vem cada valor: $x$ = enunciado: cada elemento de A · $4$ = enunciado: b = 4 na definição de B

Passo 2 — Calcular o valor para x = 2

Agora aplicamos a expressão obtida a cada elemento de A, começando pelo primeiro. Isso gera os elementos de B.

Por que esta fórmula: Usamos a expressão do passo 1 com x = 2.

De onde vem cada valor: $2 \cdot 2$ = passo 1: 2x com x = 2 · $+4$ = passo 1: constante 4

Passo 3 — Calcular o valor para x = 3

Continuamos preenchendo o conjunto B com os demais elementos de A.

Por que esta fórmula: Usamos a expressão do passo 1 com x = 3.

De onde vem cada valor: $2 \cdot 3$ = passo 1: 2x com x = 3 · $+4$ = passo 1: constante 4

Passo 4 — Calcular o valor para x = 5

Continuamos preenchendo o conjunto B.

Por que esta fórmula: Usamos a expressão do passo 1 com x = 5.

De onde vem cada valor: $2 \cdot 5$ = passo 1: 2x com x = 5 · $+4$ = passo 1: constante 4

Passo 5 — Calcular o valor para x = 6

Último elemento de A, completando o conjunto B.

Por que esta fórmula: Usamos a expressão do passo 1 com x = 6.

De onde vem cada valor: $2 \cdot 6$ = passo 1: 2x com x = 6 · $+4$ = passo 1: constante 4

Passo 6 — Somar os elementos de B

Agora que temos todos os elementos de B, precisamos somá-los para responder à pergunta.

Por que esta fórmula: A soma é a operação pedida no enunciado.

De onde vem cada valor: $8$ = passo 2 · $10$ = passo 3 · $14$ = passo 4 · $16$ = passo 5

Resposta: 48 (alternativa B)