GabaritoD — √1979.
Gabarito: letra D — o 2023º termo da sequência ordenada é √1979. A chave é perceber que, ao ordenar os 4046 números, os inteiros de 1 a 44 (44 números) vêm primeiro, seguidos das raízes de 1 a 44 (mais 44 números), totalizando 88 números; depois entram os inteiros de 45 a 2023 (1979 números), e o 2023º termo cai exatamente no início do bloco das raízes de 45 em diante, sendo √1979.
Vamos entender o raciocínio por completo. Temos dois blocos: os inteiros positivos de 1 a 2023 e as raízes quadradas positivas √1, √2, ..., √2023. Ao ordenar tudo em ordem não decrescente, precisamos comparar inteiros com raízes. A ideia central é: para qualquer inteiro k, temos √k < k (exceto para k = 0 ou 1, mas aqui k ≥ 1, e √1 = 1). Assim, os números pequenos (raízes de números pequenos) são menores que os inteiros maiores.
O ponto crítico é descobrir até onde os inteiros são menores que as raízes que vêm depois. Observe que √2023 ≈ 44,98 (pois 44² = 1936 e 45² = 2025). Portanto, todos os inteiros de 1 a 44 são menores que √2023, e todos os inteiros de 45 em diante são maiores que √2023. Mas precisamos de uma análise mais fina para a ordenação completa.
Vamos dividir a sequência ordenada em blocos:
Inteiros de 1 a 44: são 44 números. Eles são todos menores que qualquer raiz √k com k ≥ 2? Sim, pois √2 ≈ 1,41 > 1, √3 ≈ 1,73 > 2? Não, √3 ≈ 1,73 < 2. Então a ordem não é simplesmente "todos os inteiros primeiro". Precisamos intercalar.
Na verdade, a ordenação correta é: primeiro vêm os inteiros de 1 a 44 (44 números), depois as raízes de 1 a 44 (44 números), pois √44 ≈ 6,63, que é menor que 45. Depois vêm os inteiros de 45 a 2023 (1979 números), pois todos são maiores que √2023 ≈ 44,98. E por fim as raízes de 45 a 2023 (1979 números).
Vamos conferir: √44 ≈ 6,63 < 45, então as raízes de 1 a 44 são todas menores que 45. E √2023 ≈ 44,98 < 45, então todos os inteiros de 45 em diante são maiores que todas as raízes de 1 a 2023? Não, √2023 ≈ 44,98 < 45, então os inteiros de 45 em diante são maiores que todas as raízes de 1 a 2023. Portanto, a ordem é:
Inteiros de 1 a 44 (44 números)
Raízes de 1 a 44 (44 números)
Inteiros de 45 a 2023 (1979 números)
Raízes de 45 a 2023 (1979 números)
Total: 44 + 44 + 1979 + 1979 = 4046 números. Agora, o 2023º termo: os primeiros 88 termos são os blocos 1 e 2. O 2023º termo está no bloco 3 (inteiros de 45 a 2023), pois 2023 - 88 = 1935, e o bloco 3 tem 1979 números. O 1935º termo do bloco 3 é o inteiro 45 + 1935 - 1 = 1979. Portanto, o 2023º termo é 1979, mas isso é um inteiro, não uma raiz. Espera, vamos recalcular.
Na verdade, o 2023º termo: os primeiros 88 termos são os blocos 1 e 2. O 2023º termo está no bloco 3, pois 2023 > 88. A posição dentro do bloco 3 é 2023 - 88 = 1935. O bloco 3 começa com 45, então o 1935º termo é 45 + 1935 - 1 = 1979. Mas 1979 é um inteiro, e a alternativa D é √1979. Isso indica que o 2023º termo é √1979, não 1979. Vamos reavaliar a ordem.
Na verdade, a ordem correta é: primeiro vêm os inteiros de 1 a 44 (44 números), depois as raízes de 1 a 44 (44 números), depois os inteiros de 45 a 2023 (1979 números), e por fim as raízes de 45 a 2023 (1979 números). Mas o 2023º termo: 2023 - 88 = 1935, e o bloco 3 tem 1979 números, então o 1935º termo do bloco 3 é 45 + 1935 - 1 = 1979. Mas isso é um inteiro, não uma raiz. A alternativa D é √1979, então talvez a ordem seja diferente.
Vamos pensar de novo. Na verdade, a ordenação não é por blocos tão simples. Precisamos intercalar os inteiros e as raízes. Por exemplo, √2 ≈ 1,41, que é maior que 1, mas menor que 2. Então a ordem começa: 1, √2, √3, 2, √4, √5, ... Vamos analisar mais cuidadosamente.
Para cada inteiro k, temos √k < k (para k > 1). E √k > √(k-1). Então a sequência ordenada intercala: para cada inteiro n, os números entre n e n+1 são as raízes √k tais que n < √k < n+1, ou seja, n² < k < (n+1)². Portanto, entre n e n+1, há (n+1)² - n² - 1 = 2n raízes.
Vamos contar quantos números são menores que 45. Os inteiros de 1 a 44 são 44 números. As raízes √k com k < 45² = 2025, ou seja, k de 1 a 2024, são 2024 raízes. Mas √2024 ≈ 44,98 < 45, então todas as raízes de 1 a 2024 são menores que 45. Portanto, os números menores que 45 são: 44 inteiros + 2024 raízes = 2068 números. Isso é mais que 2023, então o 2023º termo é menor que 45.
Vamos encontrar o 2023º termo. Os números menores que 45 são 2068, então o 2023º termo está entre eles. Vamos contar quantos números são menores que 44. Os inteiros de 1 a 43 são 43 números. As raízes √k com k < 44² = 1936, ou seja, k de 1 a 1935, são 1935 raízes. Total: 43 + 1935 = 1978 números menores que 44. Portanto, o 1979º termo é 44 (o próximo inteiro). O 1980º termo é √1936 = 44 (pois √1936 = 44). Mas √1936 = 44, então é igual a 44. Na ordem não decrescente, 44 e √1936 são iguais, então ambos ocupam posições consecutivas.
Vamos contar: os números menores que 44 são 1978. O 1979º termo é 44. O 1980º termo é √1936 = 44. Depois vêm as raízes √k com 1936 < k < 2025, ou seja, k de 1937 a 2024, que são 88 raízes. Então os termos de 1981 a 2068 são essas raízes. O 2023º termo: 2023 - 1980 = 43, então é a 43ª raiz dessa lista. A lista começa com √1937, √1938, ..., então a 43ª é √(1937 + 42) = √1979. Portanto, o 2023º termo é √1979.
O número 44 é o 1979º termo, não o 2023º. O candidato pode pensar que, como √2023 ≈ 44,98, o 2023º termo seria 44, mas isso ignora a intercalação das raízes.
O número 45 é maior que √2023 ≈ 44,98, então ele aparece depois de todas as raízes de 1 a 2023. O 2023º termo é menor que 45, então não pode ser 45.
√1978 é a 42ª raiz da lista de raízes entre 44 e 45, mas o 2023º termo é a 43ª, que é √1979.
Como calculado, o 2023º termo é √1979. A posição exata: os números menores que 44 são 1978, o 1979º é 44, o 1980º é √1936 = 44, e as raízes de √1937 a √2024 ocupam as posições 1981 a 2068. O 2023º termo é a 43ª raiz dessa lista, que é √(1937 + 42) = √1979.
√1980 é a 44ª raiz da lista, ocupando a posição 2024, não a 2023.
A banca explora a confusão entre o valor da raiz e a posição na sequência. Muitos candidatos calculam √2023 ≈ 44,98 e marcam 44 ou 45, sem perceber que as raízes de números entre 1936 e 2024 são todas menores que 45 e ocupam posições antes dos inteiros maiores. A chave é contar quantos números são menores que cada inteiro, usando a relação entre quadrados perfeitos.
Para resolver questões de ordenação de inteiros e raízes, lembre-se: entre n e n+1, há 2n raízes (de n²+1 a (n+1)²-1). Conte os números menores que cada inteiro para localizar a posição exata. Aqui, os números menores que 44 são 1978, então o 1979º é 44, e as raízes seguintes preenchem as posições até 2068.
Gabarito: letra D
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