Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2023

Conjuntos: interseção e complementar

Gabarito: letra D. A questão trata de conjuntos: 70 pessoas no total, 48 engenheiros e 36 moradores do Rio. A alternativa D afirma que no máximo 22 pessoas não são engenheiros nem moram no Rio — e isso é correto, pois o número de pessoas fora dos dois conjuntos é, no máximo, o total menos a união mínima dos dois grupos. A união mínima ocorre quando há máxima interseção: se todos os 36 moradores fossem engenheiros, a união seria 48, e os de fora seriam 70 − 48 = 22. Qualquer outra distribuição aumenta a união e diminui os de fora. Portanto, o máximo de pessoas que não são engenheiros nem moram no Rio é 22.

Vamos entender o raciocínio por trás de cada alternativa. O problema fornece apenas o total (70), o número de engenheiros (48) e o número de moradores do Rio (36). Não sabemos quantos engenheiros também são moradores (interseção). A partir desses dados, podemos estabelecer limites (mínimos e máximos) para as quantidades, mas não valores exatos. A banca explora exatamente essa indeterminação: alternativas que afirmam valores exatos ou conclusões absolutas são falsas, enquanto a que estabelece um limite máximo correto é verdadeira.

A ferramenta para resolver é o princípio da inclusão-exclusão para dois conjuntos: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$. Como $|A \cap B|$ pode variar, a união varia entre um mínimo e um máximo. O número de pessoas fora de ambos é $70 - |A \cup B|$, que será máximo quando a união for mínima.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que nenhum engenheiro é morador do Rio. Isso seria a interseção vazia, mas o enunciado não garante isso. É perfeitamente possível que existam engenheiros que moram no Rio; a interseção pode ser qualquer valor entre 14 e 36 (como veremos). A alternativa impõe uma condição que não é necessariamente verdadeira.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que 36 engenheiros são moradores do Rio. Isso significaria que todos os 36 moradores são engenheiros (interseção = 36). Mas isso é apenas um caso possível, não uma conclusão obrigatória. A interseção pode ser menor que 36 (por exemplo, 20), então a afirmação não é necessariamente correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que no máximo 20 moradores do Rio não são engenheiros. Vamos calcular: o número de moradores que não são engenheiros é $36 - x$, onde $x$ é a interseção. O valor máximo ocorre quando $x$ é mínimo. O mínimo de $x$ é dado por $48 + 36 - 70 = 14$ (pois a união não pode exceder 70). Assim, o máximo de moradores não engenheiros é $36 - 14 = 22$, não 20. Portanto, a alternativa subestima o máximo.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que no máximo 22 pessoas não são engenheiros nem moram no Rio. Como calculado, o número de pessoas fora de ambos é $70 - |A \cup B|$. A união mínima é 48 (quando todos os 36 moradores são engenheiros, ou seja, interseção máxima = 36). Então o máximo de pessoas fora é $70 - 48 = 22$. Qualquer outra configuração aumenta a união e diminui esse número. Portanto, a afirmação está correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que no mínimo 20 engenheiros moram no Rio. O mínimo de engenheiros que moram no Rio é a interseção mínima, que calculamos como 14 (pois $48 + 36 - 70 = 14$). Portanto, o mínimo é 14, não 20. A alternativa superestima o mínimo.

Gabarito: letra D