Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2023

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 6 pares (letra A).

A ideia por trás

O produto cartesiano de dois conjuntos é o conjunto de todos os pares ordenados possíveis, combinando cada elemento do primeiro com cada elemento do segundo. Aqui, a condição x² < y seleciona apenas alguns desses pares: para cada valor de x, calculamos seu quadrado e verificamos quais elementos de B são maiores que esse quadrado. A contagem exige cuidado para não esquecer de elevar ao quadrado antes de comparar, e para não confundir a desigualdade estrita (<) com ≤.

O que a questão dá

• A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• B = {2, 4, 6, 8}

O que queremos: o número de pares (x, y) do produto cartesiano A × B tais que x² < y

Passo 1 — Listar os elementos de A e B

Precisamos ter claros os conjuntos para podermos combinar cada elemento de A com cada elemento de B. O produto cartesiano é formado por todos os pares (x, y) com x em A e y em B.

Passo 2 — Calcular o quadrado de cada x

A condição x² < y exige comparar o quadrado da primeira coordenada com a segunda. Então, para cada x de A, precisamos saber quanto vale x².

Por que esta fórmula: O quadrado de um número é o produto dele por ele mesmo: x² = x · x.

De onde vem cada valor: $x$ = enunciado: cada elemento de A

Passo 3 — Comparar cada quadrado com os elementos de B

Agora que temos os quadrados, precisamos ver, para cada x, quais y de B são maiores que x². Isso determina quais pares satisfazem a condição.

Por que esta fórmula: A condição é x² < y, ou seja, y deve ser estritamente maior que o quadrado de x.

De onde vem cada valor: $x^{2}$ = passo 2 · $y$ = enunciado: elementos de B

$Para x$ = Pares válidos: (1,2), (1,4), (1,6), (1,8), (2,6), (2,8)

Passo 4 — Contar os pares válidos

Depois de identificar os pares que satisfazem a condição, basta contá-los para obter a resposta.

Resposta: 6 pares (letra A)