Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2023

Equivalências Lógicas: Contrapositiva

Gabarito: letra C (III, apenas). A proposição original é uma condicional "Se não durmo, então tenho dor de cabeça" ($\sim d \rightarrow t$). A única equivalência que transforma uma condicional em outra condicional é a contrapositiva: $p \rightarrow q \equiv \sim q \rightarrow \sim p$. Aplicando à original, obtemos "Se não tenho dor de cabeça, então durmo" ($\sim t \rightarrow d$), que é exatamente a afirmativa III. As afirmativas I e II são a recíproca e a inversa, respectivamente, que não são equivalentes à condicional original.

A lógica proposicional trabalha com proposições e seus conectivos. A condicional $p \rightarrow q$ ("se p, então q") é falsa apenas quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. A partir dela, podemos formar três outras condicionais relacionadas:

• Recíproca: $q \rightarrow p$ (inverte as posições)

• Inversa: $\sim p \rightarrow \sim q$ (nega ambas)

• Contrapositiva: $\sim q \rightarrow \sim p$ (inverte e nega)

A contrapositiva é a única que possui o mesmo valor lógico da condicional original, ou seja, são equivalentes. Isso é intuitivo: se toda vez que p ocorre, q também ocorre, então se q não ocorreu, p também não pode ter ocorrido. As outras duas (recíproca e inversa) não são equivalentes, pois podem ter valores lógicos diferentes em algumas situações.

A banca explora exatamente essa confusão: o candidato que não domina a contrapositiva tende a marcar a recíproca ou a inversa como equivalentes. Vamos analisar cada afirmativa.

Afirmativa I — ❌ Incorreta

"Se durmo, então não tenho dor de cabeça" é a inversa da original ($d \rightarrow \sim t$). A inversa nega o antecedente e o consequente, mas não inverte a ordem. Ela não é equivalente à condicional original. Por exemplo, se a pessoa não dorme e tem dor de cabeça, a original é verdadeira, mas a inversa seria "se durmo, então não tenho dor" — que pode ser falsa se a pessoa dorme e ainda tem dor. Portanto, não são equivalentes.

Afirmativa II — ❌ Incorreta

"Se tenho dor de cabeça, então não durmo" é a recíproca da original ($t \rightarrow \sim d$). A recíproca inverte a ordem sem negar. Ela não é equivalente à condicional original. A recíproca seria equivalente apenas se a original fosse uma bicondicional (se e somente se), o que não é o caso. Portanto, não são equivalentes.

Afirmativa III — ✅ Correta ⟵ GABARITO

"Se não tenho dor de cabeça, então durmo" é a contrapositiva da original ($\sim t \rightarrow d$). A contrapositiva inverte e nega ao mesmo tempo. Ela é sempre equivalente à condicional original, pois possuem a mesma tabela-verdade. Portanto, é a única afirmativa equivalente.

Gabarito: letra C — apenas a afirmativa III é equivalente.