Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2023

Lógica de primeira ordem: negação de proposições universais

Gabarito: letra E. A afirmação "Todos os candidatos têm mais de 25 anos" é uma proposição universal afirmativa (∀x, P(x)). Sua negação lógica é "Existe pelo menos um candidato que NÃO tem mais de 25 anos", ou seja, "Pelo menos um candidato tem 25 anos ou menos" — exatamente o que a alternativa E afirma. Essa é a aplicação direta da regra de negação do quantificador universal: negar um "todo" equivale a afirmar um "existe um que não".

A questão cobra um dos pontos mais clássicos do raciocínio lógico: a negação de proposições categóricas. Quando alguém afirma que todos os elementos de um conjunto possuem uma propriedade, para provar que essa afirmação é falsa basta encontrar um único elemento que não possua essa propriedade. Não é necessário que todos falhem — um contraexemplo já derruba a universalidade.

Formalizando: seja $P(x)$ = "o candidato x tem mais de 25 anos". A afirmação do diretor é $\forall x \, P(x)$ (para todo candidato, P é verdadeiro). A negação é $\neg \forall x \, P(x) \equiv \exists x \, \neg P(x)$ — existe pelo menos um candidato para o qual $P(x)$ é falso, ou seja, que não tem mais de 25 anos. "Não ter mais de 25 anos" significa ter 25 anos ou menos (incluindo exatamente 25). Portanto, a conclusão correta é: pelo menos um candidato tem 25 anos ou menos.

A pegadinha da banca está em confundir a negação de "todos" com outras formas de negação parcial ou com a negação de outras proposições categóricas. Muitos candidatos, ao verem "todos têm mais de 25 anos" ser falsa, pensam que isso implica "todos têm menos de 25 anos" ou "nenhum tem mais de 25 anos", o que é um erro clássico. A negação correta exige apenas a existência de um contraexemplo, não a negação universal.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que "um dos candidatos tem 25 anos". Isso é uma conclusão específica demais: a falsidade de "todos têm mais de 25 anos" garante que pelo menos um não tem mais de 25 anos, mas esse candidato pode ter 24, 23, 20 anos, etc. Não há garantia de que a idade seja exatamente 25. A alternativa erra ao fixar uma idade exata que não é dedutível.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que "todos os candidatos têm menos de 25 anos". Isso é a negação universal da propriedade, mas a negação de "todos têm mais de 25 anos" não é "todos têm menos de 25 anos". Basta que um candidato tenha 25 anos ou menos para a afirmação original ser falsa; os demais podem ter mais de 25. A alternativa confunde a negação de um quantificador universal com a negação da propriedade aplicada a todos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que "todos os candidatos têm 25 anos ou menos". Assim como a B, é uma generalização excessiva. A falsidade da afirmação original não implica que todos os candidatos tenham 25 anos ou menos; apenas que pelo menos um não tem mais de 25 anos. Os outros podem ter 30, 40 anos, etc. A alternativa erra ao universalizar a exceção.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que "exatamente um candidato tem 25 anos ou menos". A negação de "todos têm mais de 25 anos" garante que pelo menos um não tem mais de 25 anos, mas não especifica quantos. Pode ser um, dois ou os três candidatos. A alternativa impõe uma quantidade exata que não é dedutível logicamente.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que "pelo menos um candidato tem 25 anos ou menos". Essa é exatamente a negação lógica da proposição universal: se é falso que todos têm mais de 25 anos, então existe pelo menos um que não tem mais de 25 anos, ou seja, que tem 25 anos ou menos. A alternativa captura corretamente o quantificador existencial com a negação da propriedade.

Gabarito: letra E