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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

MatemáticaProbabilidade
Código
fg073548
Banca
FGV
Órgão
Banco do Brasil
Ano
2023
Nível
Superior
Em uma urna há 10 bolas brancas e 6 bolas azuis. Se sortearmos ao acaso duas bolas diferentes dessa urna, a probabilidade de que ambas sejam azuis é igual a
  1. A1/8.
  2. B3/6.
  3. C1/4.
  4. D1/3.
  5. E1/2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 1/8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 1/8 (alternativa A).

A ideia por trás

A probabilidade mede a chance de um evento acontecer, variando de 0 (impossível) a 1 (certo). Quando retiramos bolas de uma urna sem devolvê-las, os eventos são dependentes: o resultado da primeira retirada altera a composição da urna para a segunda. A probabilidade de dois eventos dependentes ocorrerem em sequência é o produto da probabilidade do primeiro pela probabilidade do segundo, dado que o primeiro já ocorreu — a chamada probabilidade condicional. Nesta questão, precisamos calcular a chance de a primeira bola ser azul e, depois, a chance de a segunda também ser azul, considerando que uma azul já saiu.

O que a questão dá

  • 10 bolas brancas

  • 6 bolas azuis

  • total de bolas = 16

  • retirada sem reposição

O que queremos: a probabilidade de retirar duas bolas azuis, sem reposição

Passo 1 — Calcular a chance de a primeira bola ser azul

A primeira retirada define o ponto de partida: se ela não for azul, o evento 'ambas azuis' já falha. Por isso, começamos calculando a probabilidade de tirar uma bola azul no primeiro sorteio.

Por que esta fórmula: A probabilidade de um evento é o número de casos favoráveis dividido pelo total de casos possíveis. Aqui, os casos favoráveis são as 6 bolas azuis, e o total são as 16 bolas na urna.

P(1ª azul)=616P(\text{1ª azul}) = \frac{6}{16}

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: 6 bolas azuis · 1616 = enunciado: 10 brancas + 6 azuis = 16 bolas

P(1ª azul)=616=3 /8P(\text{1ª azul}) = \frac{6}{16} = \boxed{3\ /8}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 6/10 (azuis sobre brancas) em vez de 6/16 — o denominador é o total de bolas, não só as brancas.

Passo 2 — Calcular a chance de a segunda ser azul após a primeira

Como a retirada é sem reposição, depois de tirar uma azul restam 5 azuis e 15 bolas no total. A probabilidade da segunda retirada depende da primeira — é a probabilidade condicional.

Por que esta fórmula: A probabilidade condicional P(B|A) é a chance de B ocorrer sabendo que A já ocorreu. Após a primeira azul, o espaço amostral diminuiu: agora há 5 azuis entre 15 bolas.

P(2ª azul∣1ª azul)=515P(\text{2ª azul} | \text{1ª azul}) = \frac{5}{15}

De onde vem cada valor: 55 = passo 1: 6 azuis - 1 retirada = 5 azuis restantes · 1515 = passo 1: 16 bolas - 1 retirada = 15 bolas restantes

P(2ª azul∣1ª azul)=515=1 /3P(\text{2ª azul} | \text{1ª azul}) = \frac{5}{15} = \boxed{1\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a retirada sem reposição e usar 6/16 de novo — isso seria para eventos independentes, o que não é o caso.

Passo 3 — Multiplicar as probabilidades das duas retiradas

Para que ambas as retiradas sejam azuis, os dois eventos precisam acontecer em sequência. A probabilidade de dois eventos dependentes ocorrerem juntos é o produto da probabilidade do primeiro pela probabilidade condicional do segundo.

Por que esta fórmula: A regra da multiplicação para eventos dependentes: P(A e B) = P(A) × P(B|A). Usamos os valores dos passos 1 e 2.

P(ambas azuis)=616×515P(\text{ambas azuis}) = \frac{6}{16} \times \frac{5}{15}

De onde vem cada valor: 616\frac{6}{16} = passo 1: probabilidade da primeira azul · 515\frac{5}{15} = passo 2: probabilidade da segunda azul dado que a primeira foi azul

P(ambas azuis)=616×515=30240=30 /240P(\text{ambas azuis}) = \frac{6}{16} \times \frac{5}{15} = \frac{30}{240} = \boxed{30\ /240}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar 6/16 por 6/16 (como se houvesse reposição) — dá 36/256 = 9/64, que não é o gabarito.

Passo 4 — Simplificar a fração resultante

A fração 30/240 ainda não está na forma mais simples. Simplificar facilita comparar com as alternativas e evita erros de leitura.

Por que esta fórmula: Para simplificar, dividimos numerador e denominador pelo máximo divisor comum. 30 e 240 são divisíveis por 30.

30240=30÷30240÷30=18\frac{30}{240} = \frac{30 \div 30}{240 \div 30} = \frac{1}{8}

De onde vem cada valor: 3030 = passo 3: numerador do produto · 240240 = passo 3: denominador do produto

30240=18=1 /8\frac{30}{240} = \frac{1}{8} = \boxed{1\ /8}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir apenas o numerador ou o denominador, ou simplificar por um fator errado, como 2, obtendo 15/120 — ainda não é a forma final.

Resposta: 1/8 (alternativa A)

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