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Questão de Matemática — Prismas — FGV 2023

MatemáticaPrismas
Código
fg073550
Banca
FGV
Órgão
Banco do Brasil
Ano
2023
Nível
Superior
Um prisma e uma pirâmide possuem mesmo número de faces. A razão entre os números de arestas do prisma e da pirâmide é 7/5.A base da pirâmide é um polígono de
  1. A13 lados.
  2. B14 lados.
  3. C15 lados.
  4. D16 lados.
  5. E17 lados.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 15 lados.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a A base da pirâmide é um polígono de 15 lados (alternativa C)..

A ideia por trás

Prismas e pirâmides são sólidos geométricos cujas faces e arestas dependem do número de lados do polígono da base. No prisma, há duas bases e tantas faces laterais quantos forem os lados da base; na pirâmide, há uma base e também faces laterais em igual número. As arestas também seguem padrões: o prisma tem três arestas por lado da base (duas nas bases e uma lateral), enquanto a pirâmide tem duas (uma na base e uma lateral). Essas contagens são lineares no número de lados, então problemas que relacionam faces e arestas entre os dois sólidos viram equações simples. Nesta questão, a igualdade de faces e a razão de arestas fornecem duas equações que, combinadas, revelam o número de lados da base da pirâmide.

O que a questão dá

  • prisma e pirâmide com mesmo número de faces

  • razão entre arestas do prisma e da pirâmide = 7/5

O que queremos: o número de lados do polígono da base da pirâmide

Passo 1 — Expressar faces do prisma e da pirâmide

Precisamos traduzir a informação 'mesmo número de faces' em uma equação. Para isso, usamos as fórmulas que contam as faces de cada sólido a partir do número de lados da base.

Por que esta fórmula: Um prisma tem duas bases (superior e inferior) e uma face lateral para cada lado da base, então F_prisma = n + 2. Uma pirâmide tem uma base e uma face lateral para cada lado, então F_piramide = m + 1. Usamos n para o prisma e m para a pirâmide porque os números de lados podem ser diferentes.

Fprisma=n+2,Fpira^mide=m+1F_{prisma} = n + 2, \quad F_{pirâmide} = m + 1

De onde vem cada valor: nn = número de lados da base do prisma (incógnita) · mm = número de lados da base da pirâmide (incógnita)

NÃO CAIA NESSA!

Usar a mesma letra n para os dois sólidos, esquecendo que as bases podem ter números de lados diferentes.

Passo 2 — Igualar as faces e relacionar n e m

O enunciado diz que o número de faces é igual, então igualamos as expressões do passo anterior. Isso nos dá uma relação entre n e m.

Por que esta fórmula: Igualar F_prisma e F_piramide é a tradução direta da condição 'mesmo número de faces'.

n+2=m+1n + 2 = m + 1

De onde vem cada valor: n+2n + 2 = passo 1: faces do prisma · m+1m + 1 = passo 1: faces da pirâmide

m=n+1m = \boxed{\text{n} + 1}
NÃO CAIA NESSA!

Resolver a equação errado, por exemplo subtraindo 1 em vez de somar.

Passo 3 — Expressar arestas do prisma e da pirâmide

Agora precisamos usar a razão entre as arestas. Para isso, escrevemos as fórmulas das arestas em função de n e m.

Por que esta fórmula: Um prisma tem n arestas em cada base (total 2n) e n arestas laterais, somando 3n. Uma pirâmide tem n arestas na base e n arestas laterais, somando 2n. Essas contagens são padrão.

Aprisma=3n,Apira^mide=2mA_{prisma} = 3n, \quad A_{pirâmide} = 2m

De onde vem cada valor: nn = número de lados da base do prisma · mm = número de lados da base da pirâmide

NÃO CAIA NESSA!

Confundir as fórmulas, por exemplo usar 2n para o prisma.

Passo 4 — Montar a razão das arestas

O enunciado fornece a razão entre as arestas, então substituímos as expressões do passo anterior na razão dada.

Por que esta fórmula: A razão A_prisma / A_piramide é dada como 7/5, então montamos a equação com as fórmulas.

3n2m=75\frac{3n}{2m} = \frac{7}{5}

De onde vem cada valor: 3n3n = passo 3: arestas do prisma · 2m2m = passo 3: arestas da pirâmide · 7/57/5 = enunciado: razão entre arestas

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, colocando 2m/3n = 7/5.

Passo 5 — Substituir m por n + 1

Temos duas equações com duas incógnitas. Usamos a relação m = n + 1 do passo 2 para reduzir a uma incógnita.

Por que esta fórmula: Substituir m na equação da razão elimina m, permitindo resolver para n.

3n2(n+1)=75\frac{3n}{2(n+1)} = \frac{7}{5}

De onde vem cada valor: 3n3n = passo 3: arestas do prisma · 2(n+1)2(n+1) = passo 2: m = n + 1, então 2m = 2(n+1) · 7/57/5 = enunciado: razão

3n2(n+1)=75\frac{3n}{2(n+1)} = \frac{7}{5}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de substituir m em todos os lugares.

Passo 6 — Resolver a equação para n

Agora temos uma equação algébrica. Multiplicamos cruzado e isolamos n para encontrar o número de lados da base do prisma.

Por que esta fórmula: Multiplicar cruzado elimina as frações e transforma a equação em uma linear simples.

5⋅3n=7⋅2(n+1)5 \cdot 3n = 7 \cdot 2(n+1)

De onde vem cada valor: 55 = denominador do lado direito da equação do passo 5 · 3n3n = numerador do lado esquerdo · 77 = numerador do lado direito · 2(n+1)2(n+1) = denominador do lado esquerdo

5⋅3n=7⋅2(n+1)5 \cdot 3n = 7 \cdot 2(n+1)
n=14n = \boxed{14}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva: 7*2(n+1) = 14n + 14, não 14n + 7.

Passo 7 — Calcular o número de lados da pirâmide

A pergunta pede o número de lados da base da pirâmide, não do prisma. Usamos a relação m = n + 1 do passo 2.

Por que esta fórmula: A relação m = n + 1 foi obtida da igualdade de faces, então basta somar 1 ao valor de n.

m=n+1m = n + 1

De onde vem cada valor: nn = passo 6: n = 14 · 11 = passo 2: diferença entre os números de lados

m=14+1m = 14 + 1
m=15m = \boxed{15}
NÃO CAIA NESSA!

Responder 14, que é o número de lados do prisma, não da pirâmide.

Resposta: A base da pirâmide é um polígono de 15 lados (alternativa C).

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