GabaritoA — 10.
Gabarito: letra A — a conta chega a 10 valores possíveis (letra A).
Uma inequação com fração algébrica compara uma expressão racional com um número. Para resolvê-la, precisamos eliminar o denominador, mas isso exige cuidado: multiplicar por um número negativo inverte o sinal da desigualdade. Como o denominador x-2 pode ser positivo ou negativo, dividimos a análise em dois casos. Nesta questão, o caso em que o denominador é positivo fornece a solução, enquanto o caso negativo não tem solução, e devemos excluir x=2, que anula o denominador.
inequação: (2x + 7)/(x - 2) > 3
x é inteiro não negativo
O que queremos: o número de valores inteiros não negativos de x que satisfazem a inequação
Antes de qualquer manipulação, precisamos garantir que a fração esteja definida. O denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não existe. Então, identificamos o valor proibido de x.
Por que esta fórmula: O denominador é x-2; igualamos a zero para achar o valor que não pode ser usado.
De onde vem cada valor: = enunciado: denominador da fração
Esquecer de excluir x=2 e incluí-lo na contagem final.
Para eliminar a fração, multiplicamos ambos os lados por (x-2). Mas o sinal da desigualdade só se mantém se (x-2) for positivo. Então, primeiro consideramos x-2 > 0, ou seja, x > 2.
Por que esta fórmula: Multiplicar uma inequação por um número positivo não altera o sentido da desigualdade.
De onde vem cada valor: = enunciado: numerador da fração · = enunciado: lado direito da inequação · = enunciado: denominador
Esquecer de inverter o sinal quando o denominador é negativo (isso será tratado no próximo passo).
O caso positivo exige x > 2, e a manipulação deu x < 13. A solução é a interseção dessas duas condições.
Por que esta fórmula: A solução de um sistema de inequações é a interseção dos intervalos.
De onde vem cada valor: = passo 2: condição x > 2 · = passo 2: resultado x < 13
Incluir o 2 ou o 13, mas eles não satisfazem a desigualdade estrita.
Se x-2 < 0, multiplicar por ele inverte o sinal da desigualdade. Precisamos verificar se esse caso gera soluções.
Por que esta fórmula: Multiplicar por número negativo inverte o sentido da desigualdade.
De onde vem cada valor: = enunciado: numerador · = enunciado: lado direito · = enunciado: denominador
Não inverter o sinal, obtendo x < 13, o que levaria a uma solução errada.
O caso negativo exige x < 2, mas a manipulação deu x > 13. Essas condições são incompatíveis, então não há solução nesse caso.
Por que esta fórmula: A interseção de x < 2 e x > 13 é vazia.
De onde vem cada valor: = passo 4: condição do caso negativo · = passo 4: resultado
Achar que x > 13 é solução, esquecendo a condição x < 2.
Já temos o conjunto solução: os inteiros de 3 a 12. Agora precisamos contar quantos são.
Por que esta fórmula: A quantidade de inteiros de a até b inclusive é b - a + 1.
De onde vem cada valor: = passo 3: extremo superior · = passo 3: extremo inferior
Contar de 2 a 12 (11 valores) ou de 0 a 12 (13 valores), incluindo valores inválidos.
Resposta: 10 valores possíveis (letra A)
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