Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg073554

Problema de fila: João e Pedro

Gabarito: letra D — o total de pessoas na fila é 4n + 5. A resolução combina as duas condições sobre as posições de Pedro e João para montar um sistema que relaciona o total de pessoas com a distância entre eles.

Vamos entender o problema. Temos uma fila com um certo número de pessoas. Cada pessoa tem um número de pessoas à frente e um número de pessoas atrás. A posição de cada um na fila determina esses números. A chave é traduzir as informações do enunciado em equações.

Modelando o problema

Seja T o número total de pessoas na fila. Para uma pessoa qualquer, vale a relação:

Pessoas à frente + a própria pessoa + pessoas atrás = T

Ou seja, se uma pessoa tem x pessoas à frente e y pessoas atrás, então:

x + 1 + y = T

Aplicando isso a Pedro e João, e usando as condições dadas, montamos um sistema.

Resolução passo a passo

1. Condição de Pedro:

"há tantas pessoas na frente de Pedro quantas atrás dele"

Seja p o número de pessoas à frente de Pedro. Então o número de pessoas atrás dele também é p. Logo:

p + 1 + p = T \Rightarrow 2p + 1 = T \Rightarrow p = \frac{T - 1}{2}

2. Condição de João:

"o número de pessoas atrás de João é o triplo do número de pessoas que está à frente dele"

Seja j o número de pessoas à frente de João. Então o número de pessoas atrás dele é 3j. Logo:

j + 1 + 3j = T \Rightarrow 4j + 1 = T \Rightarrow j = \frac{T - 1}{4}

3. Relação entre as posições:

"há n pessoas entre João e Pedro"

A distância entre as posições de João e Pedro é n + 1 (pois há n pessoas entre eles, então a diferença de posições é n+1). A posição de uma pessoa na fila é o número de pessoas à frente dela mais 1. Assim:

Posição de Pedro = p + 1 = $\frac{T - 1}{2} + 1 = \frac{T + 1}{2}$
Posição de João = j + 1 = $\frac{T - 1}{4} + 1 = \frac{T + 3}{4}$

A diferença entre as posições é:

\left| \frac{T + 1}{2} - \frac{T + 3}{4} \right| = n + 1

Calculando a diferença:

\frac{T + 1}{2} - \frac{T + 3}{4} = \frac{2(T + 1) - (T + 3)}{4} = \frac{2T + 2 - T - 3}{4} = \frac{T - 1}{4}

Portanto:

\frac{T - 1}{4} = n + 1 \Rightarrow T - 1 = 4n + 4 \Rightarrow T = 4n + 5

Assim, o total de pessoas na fila é 4n + 5, que corresponde à letra D.

Análise das alternativas

Caso	Atribuição (T, p, j, posições)	Resultado
Condição de Pedro	p = (T−1)/2, atrás = p	T = 2p + 1
Condição de João	j = (T−1)/4, atrás = 3j	T = 4j + 1
Posição de Pedro	posição = p + 1 = (T+1)/2	(T+1)/2
Posição de João	posição = j + 1 = (T+3)/4	(T+3)/4
Diferença de posições	\|(T+1)/2 − (T+3)/4\| = n + 1	(T−1)/4 = n + 1
Solução	T − 1 = 4n + 4	T = 4n + 5

Alternativa A — ❌ Incorreta

3n + 3 não satisfaz a condição de Pedro. Se T = 3n + 3, então o número de pessoas à frente de Pedro seria $\frac{T - 1}{2} = \frac{3n + 2}{2}$ , que não é inteiro para n ímpar, e a diferença de posições não resulta em n+1. O erro está em não considerar corretamente a relação entre as posições.

Alternativa B — ❌ Incorreta

3n + 5 também não fecha o sistema. Testando: se T = 3n + 5, a diferença de posições seria $\frac{T - 1}{4} = \frac{3n + 4}{4}$ , que não é igual a n+1 para todos os n. A alternativa erra ao usar o coeficiente 3 em vez de 4 na expressão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

4n + 3 é uma armadilha comum: o aluno pode somar 4n (da condição de João) com 3 (talvez confundindo o +1 de cada posição). Mas o correto é 4n + 5, pois a diferença de posições é n+1, e o sistema exige o +5. Testando: se T = 4n + 3, a diferença seria $\frac{T - 1}{4} = \frac{4n + 2}{4} = n + 0,5$ , que não é inteiro, contradizendo a existência de n pessoas entre eles.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, T = 4n + 5. A condição de Pedro dá p = (T-1)/2 = 2n+2, e a de João dá j = (T-1)/4 = n+1. A diferença de posições é (2n+3) - (n+2) = n+1, exatamente o número de pessoas entre eles mais 1. Tudo confere.

Alternativa E — ❌ Incorreta

5n + 1 não tem relação com o sistema. Se T = 5n + 1, a condição de Pedro exigiria p = (5n)/2, que não é inteiro para n ímpar, e a de João daria j = (5n)/4, também não inteiro. A alternativa é um distrator sem fundamento nas equações.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a diferença de posições (n+1) e o número de pessoas entre eles (n). Muitos candidatos montam a equação como se a diferença fosse n, esquecendo o +1. Além disso, é comum errar ao somar os termos: o correto é 4n + 5, não 4n + 3. Fique atento: a diferença entre as posições é sempre n+1, pois há n pessoas no meio.

PEGA ESSA DICA!

Para problemas de fila, sempre defina variáveis para o número de pessoas à frente e atrás de cada pessoa, e use a relação fundamental: frente + 1 + atrás = total. Monte o sistema e resolva. Treine com questões similares para fixar o padrão.

Gabarito: letra D