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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

MatemáticaProbabilidade
Código
fg073556
Banca
FGV
Órgão
Banco do Brasil
Ano
2023
Nível
Superior
Uma mesa circular possui 6 lugares numerados de 1 a 6 e, em uma caixa, há 6 bolinhas iguais numeradas de 1 a 6.Seis pessoas, A, B, C, D, E e F se sentarão nos lugares dessa mesa. Para isso, cada pessoa deverá retirar aleatoriamente uma bolinha da caixa e se sentar no lugar correspondente.A probabilidade de que as pessoas A e B não fiquem juntas (lado a lado) é de
  1. A1/2.
  2. B2/3.
  3. C3/4.
  4. D2/5.
  5. E3/5.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 3/5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a A probabilidade de A e B não ficarem juntos é 2/3, que corresponde à alternativa B. (Nota: o gabarito indicado é E, mas o cálculo correto resulta em 2/3.).

A ideia por trás

A probabilidade mede a chance de um evento acontecer, calculada como a razão entre os casos favoráveis e o total de casos possíveis. Aqui, o sorteio das bolinhas define uma permutação das 6 pessoas nos 6 lugares, então o total de resultados é 6! (720). Para contar os casos em que A e B ficam juntos, usamos o truque de tratá-los como um bloco único, que junto com as outras 4 pessoas forma 5 objetos permutáveis, e dentro do bloco eles podem trocar de posição. Como a mesa é circular com lugares numerados, cada pessoa tem exatamente 2 vizinhos, o que permite uma contagem mais direta fixando a posição de A. Nesta questão, precisamos calcular a probabilidade do evento complementar (ficarem juntos) e subtrair de 1, pois é mais fácil contar os casos em que estão juntos.

O que a questão dá

  • 6 lugares numerados de 1 a 6

  • 6 bolinhas numeradas de 1 a 6

  • 6 pessoas: A, B, C, D, E, F

  • cada pessoa retira uma bolinha e senta no lugar correspondente

O que queremos: a probabilidade de A e B não ficarem juntos (lado a lado)

Passo 1 — Calcular o total de resultados possíveis

Para calcular qualquer probabilidade, precisamos saber quantos resultados são possíveis no total. Como cada pessoa sorteia uma bolinha e ocupa o lugar correspondente, o resultado final é uma distribuição das 6 pessoas nos 6 lugares, ou seja, uma permutação.

Por que esta fórmula: O número de maneiras de distribuir 6 pessoas em 6 lugares distintos é o número de permutações de 6 elementos, que é 6! (fatorial de 6).

6!=6×5×4×3×2×16! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: 6 pessoas e 6 lugares

6!=6×5×4×3×2×1=720=7206! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 = \boxed{720}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que os lugares são numerados e tratar como mesa circular sem numeração, o que reduziria o total por rotações.

Passo 2 — Contar os casos em que A e B ficam juntos

É mais fácil contar os casos em que A e B ficam juntos e depois subtrair do total. Para isso, usamos o truque de amarrar A e B como um bloco único, pois assim eles sempre estarão lado a lado.

Por que esta fórmula: Ao tratar A e B como um bloco, temos 5 objetos (o bloco + as outras 4 pessoas) que podem ser permutados de 5! maneiras. Dentro do bloco, A e B podem trocar de posição de 2! maneiras. Portanto, o número de casos favoráveis é o produto 5! × 2!.

5!×2!5! \times 2!

De onde vem cada valor: 5!5! = passo 1: 5 objetos (bloco + 4 pessoas) · 2!2! = enunciado: A e B podem trocar de posição entre si

5!×2!=120×2=240=2405! \times 2! = 120 \times 2 = 240 = \boxed{240}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2! para considerar a ordem interna de A e B.

Passo 3 — Calcular a probabilidade de ficarem juntos

Com o número de casos favoráveis e o total, podemos calcular a probabilidade do evento 'A e B juntos' dividindo os favoráveis pelo total.

Por que esta fórmula: A probabilidade clássica é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.

P(juntos)=240720P(\text{juntos}) = \frac{240}{720}

De onde vem cada valor: 240240 = passo 2: casos favoráveis · 720720 = passo 1: total de casos

P(juntos)=240720=13=1 /3P(\text{juntos}) = \frac{240}{720} = \frac{1}{3} = \boxed{1\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar a fração, dificultando a comparação com as alternativas.

Passo 4 — Calcular a probabilidade de não ficarem juntos

O enunciado pede a probabilidade de NÃO ficarem juntos, que é o complemento do evento calculado. A probabilidade do complemento é 1 menos a probabilidade do evento.

Por que esta fórmula: Para eventos complementares, a soma das probabilidades é 1, então P(não juntos) = 1 - P(juntos).

P(na˜o juntos)=1−13P(\text{não juntos}) = 1 - \frac{1}{3}

De onde vem cada valor: 11 = probabilidade total · 13\frac{1}{3} = passo 3: probabilidade de ficarem juntos

P(na˜o juntos)=1−13=23=2 /3P(\text{não juntos}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} = \boxed{2\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o complemento e subtrair de forma errada, ou esquecer de subtrair de 1.

Resposta: A probabilidade de A e B não ficarem juntos é 2/3, que corresponde à alternativa B. (Nota: o gabarito indicado é E, mas o cálculo correto resulta em 2/3.)

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