Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg073559

Lógica de conjuntos e implicações

Gabarito: letra C — nenhum gato feliz é cinza. A conclusão decorre da cadeia de implicações: todo feliz soma; quem não subtrai não soma; e nenhum cinza subtrai. Logo, todo cinza não soma e, portanto, não é feliz.

Vamos organizar as informações em termos de conjuntos. Temos três propriedades: ser feliz (F), ser cinza (C), conseguir somar (S) e conseguir subtrair (T). As premissas são:

Todo feliz soma: $F \subseteq S$ .
Nenhum cinza subtrai: $C \cap T = \emptyset$ , ou seja, $C \subseteq \overline{T}$ .
Quem não subtrai não soma: $\overline{T} \subseteq \overline{S}$ .

Da premissa 2, todo cinza está em $\overline{T}$ . Da premissa 3, todo elemento de $\overline{T}$ está em $\overline{S}$ . Portanto, todo cinza está em $\overline{S}$ : $C \subseteq \overline{S}$ . Isso significa que nenhum cinza soma.

Como todo feliz soma ( $F \subseteq S$ ), e nenhum cinza soma ( $C \subseteq \overline{S}$ ), os conjuntos $F$ e $C$ são disjuntos: $F \cap C = \emptyset$ . Em outras palavras, nenhum gato feliz é cinza. Essa é exatamente a alternativa C.

Relações entre felizes e cinzas — só Felizes: 6; só Cinzas: 5; Felizes∩Cinzas: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que todos os gatos cinza são felizes. Isso contraria a conclusão que acabamos de derivar: como todo cinza não soma e todo feliz soma, nenhum cinza pode ser feliz. A alternativa inverte a relação — na verdade, cinza e feliz são conjuntos disjuntos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que todos os gatos cinza conseguem somar. É o oposto do que deduzimos: todo cinza não subtrai (premissa 2) e quem não subtrai não soma (premissa 3), logo todo cinza não soma. A banca troca "não soma" por "soma".

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, todo feliz soma e todo cinza não soma, então nenhum gato pode ser simultaneamente feliz e cinza. A alternativa expressa exatamente a disjunção dos conjuntos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que nenhum gato feliz consegue subtrair. As premissas não permitem concluir isso: sabemos que todo feliz soma, mas nada é dito sobre felizes e subtração. Um gato feliz pode ou não subtrair — a informação é insuficiente. A alternativa extrapola o que as premissas garantem.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que nenhum gato que consegue subtrair é feliz. Também não é uma conclusão válida. As premissas dizem que todo feliz soma, mas não relacionam subtração com felicidade. Um gato que subtrai pode ser feliz ou não — não há como afirmar. A alternativa confunde a direção da implicação: a premissa 3 é "não subtrai → não soma", e não "subtrai → não é feliz".

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a implicação e sua recíproca. Muitos candidatos marcam a letra E, pensando que "quem não subtrai não soma" implica "quem subtrai não é feliz". Mas a implicação só vale em uma direção: se não subtrai, então não soma. A recíproca (se subtrai, então soma) não é garantida. A cadeia correta é: cinza → não subtrai → não soma → não feliz.

NÃO CAIA NESSA!

Para resolver questões de lógica com conjuntos, traduza cada premissa em uma relação de inclusão (ex.: $F \subseteq S$ ) e encadeie as implicações. Desenhe diagramas de Venn se ajudar. Lembre-se: a implicação $P \rightarrow Q$ não equivale a $Q \rightarrow P$ — essa é a armadilha mais comum.

Gabarito: letra C