Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2023

Igualdade com raiz quadrada: √(a²−b²) = a−b

Gabarito: letra D. A igualdade só vale em dois casos: quando a = b (ambos os lados zeram) ou quando b = 0 e a > 0 (aí √(a²) = a, que exige a ≥ 0). A alternativa D captura exatamente essas condições — e é a única que exclui os casos em que a igualdade falha, como a < b ou b = 0 com a negativo.

A questão testa duas coisas ao mesmo tempo: a definição de raiz quadrada (que é sempre não negativa) e a fatoração da diferença de quadrados. Vamos por partes.

Primeiro, lembre que $\sqrt{x}$ representa o número não negativo cujo quadrado é x. Então $\sqrt{a^2 - b^2} \geq 0$ sempre que a expressão existir (ou seja, quando $a^2 \geq b^2$). Já o lado direito, $a - b$, pode ser positivo, negativo ou zero.

Agora, a fatoração: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Assim, a igualdade pedida é:

Elevando ambos os lados ao quadrado (cuidado: isso só é válido se $a-b \geq 0$, pois o lado esquerdo é sempre ≥ 0):

Portanto, a condição necessária é $a - b = 0$ ou $b = 0$. Mas isso não basta: precisamos também que $a - b \geq 0$ (para a raiz ser igual a um número não negativo).

• Se $a = b$: então $a - b = 0$, e a igualdade vira $\sqrt{0} = 0$, que é verdadeira para qualquer a real (inclusive negativos).

• Se $b = 0$: a igualdade vira $\sqrt{a^2} = a$. Como $\sqrt{a^2} = |a|$, precisamos que $|a| = a$, o que só ocorre se $a \geq 0$. Mas se $a = 0$, já cai no caso anterior (a = b = 0). Então, para b = 0, a condição é $a > 0$ (ou a = 0, que já está incluído em a = b).

Juntando: a igualdade vale se e somente se $a = b$ ou ($b = 0$ e $a > 0$). É exatamente o que a alternativa D afirma.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a igualdade nunca é verdadeira. Falso: ela é verdadeira para infinitos pares, como a = b = 5 (dá $\sqrt{0} = 0$) ou a = 3, b = 0 (dá $\sqrt{9} = 3$).

Alternativa B — ❌ Incorreta

Diz que basta a ≥ b. Contraexemplo: a = 3, b = 1 → $\sqrt{8} \approx 2,83 \neq 2$. A condição a ≥ b é necessária (para o lado direito ser não negativo), mas não suficiente — a igualdade só vale nos casos específicos de a = b ou b = 0 com a > 0.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que é verdadeira se, e somente se, a > b e b = 0. Dois erros: (1) exclui o caso a = b (que é válido para qualquer a, inclusive a = b = 0); (2) exige a > b, mas quando b = 0, a condição correta é a > 0 (que é equivalente a a > b, já que b = 0, mas a alternativa não inclui a = b, que também é válido). Na verdade, a condição correta para b = 0 é a > 0, e a alternativa C não menciona o caso a = b.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Exatamente a condição que deduzimos: a = b (qualquer a real) ou (b = 0 e a > 0). Vamos verificar:

• Se a = b: $\sqrt{a^2 - a^2} = \sqrt{0} = 0 = a - a$. ✅

• Se b = 0 e a > 0: $\sqrt{a^2} = a = a - 0$. ✅

• Se b = 0 e a < 0: $\sqrt{a^2} = |a| = -a \neq a$. ❌ (por isso a > 0)

• Se a ≠ b e b ≠ 0: a equação $(a-b)(2b) = 0$ não se satisfaz, então a igualdade falha. ❌

Alternativa E — ❌ Incorreta

Diz que sempre é verdadeira. Contraexemplo clássico: a = 2, b = 1 → $\sqrt{4-1} = \sqrt{3} \approx 1,73 \neq 1$. Ou a = −2, b = 0 → $\sqrt{4} = 2 \neq -2$. A igualdade é condicional, não universal.

Gabarito: letra D — a igualdade é verdadeira se, e somente se, a = b ou (b = 0 e a > 0).