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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2023

MatemáticaGeometria Analítica
Código
fg073563
Banca
FGV
Órgão
Banco do Brasil
Ano
2023
Nível
Superior
O ponto de coordenadas (7,4) é rotacionado de 90°, no sentido anti-horário, em torno da origem. A seguir, ele sofre uma reflexão no eixo das abcissas, resultando no ponto (a, b).

O valor de a - b é
  1. A3.
  2. B−3.
  3. C4.
  4. D-4.
  5. E11.
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GabaritoA — 3.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a a - b = 3, alternativa A..

A ideia por trás

No plano cartesiano, transformações geométricas movem pontos de um lugar para outro. A rotação gira o ponto em torno de um centro (aqui, a origem) por um ângulo; a reflexão espelha o ponto em relação a uma reta (aqui, o eixo x). Cada transformação tem uma regra fixa que diz para onde vai cada coordenada. Nesta questão, aplicamos duas regras em sequência: primeiro a rotação, depois a reflexão. A ordem importa, e o sentido da rotação (anti-horário) é crucial para não errar o sinal.

O que a questão dá

  • ponto inicial = (7, 4)

  • rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem

  • reflexão no eixo das abscissas (eixo x)

O que queremos: o valor de a - b, onde (a, b) é o ponto final após as duas transformações

Passo 1 — Rotacionar o ponto em 90° anti-horário

A primeira transformação é a rotação. Precisamos saber para onde o ponto (7,4) vai após girar 90° no sentido anti-horário em torno da origem. Essa rotação leva o ponto do primeiro quadrante para o segundo, onde x fica negativo e y positivo.

Por que esta fórmula: A regra da rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem é (x, y) → (−y, x). Isso significa que a nova coordenada x é o oposto do y original, e a nova coordenada y é o x original. Essa regra é padrão e pode ser visualizada com pontos simples como (1,0) virando (0,1).

(x′,y′)=(−y,x)(x', y') = (-y, x)

De onde vem cada valor: xx = enunciado: 7 · yy = enunciado: 4

(x′,y′)=(−4,7)=(−4,7)(x', y') = (-4, 7) = \boxed{(-4, 7)}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a regra do sentido horário (y, −x), que daria (4, −7). O sentido anti-horário é o positivo na matemática.

Passo 2 — Refletir o ponto no eixo x

Depois da rotação, aplicamos a reflexão no eixo das abscissas (eixo x). Essa transformação espelha o ponto em relação ao eixo horizontal, mantendo a coordenada x e invertendo o sinal da coordenada y.

Por que esta fórmula: A reflexão no eixo x tem a regra (x, y) → (x, −y). O ponto (−4, 7) está acima do eixo x; ao refletir, ele vai para abaixo, com y negativo.

(x′′,y′′)=(x′,−y′)(x'', y'') = (x', -y')

De onde vem cada valor: x′x' = passo 1: -4 · y′y' = passo 1: 7

(x′′,y′′)=(−4,−7)=(−4,−7)(x'', y'') = (-4, -7) = \boxed{(-4, -7)}
NÃO CAIA NESSA!

Refletir no eixo y em vez do eixo x, o que daria (4, 7). O eixo das abscissas é o eixo x.

Passo 3 — Calcular a diferença a - b

O ponto final é (a, b) = (−4, −7). A questão pede a diferença entre a coordenada x e a coordenada y. Subtrair um número negativo é o mesmo que somar o seu valor absoluto.

Por que esta fórmula: A expressão a − b é uma subtração direta. Com a = −4 e b = −7, temos −4 − (−7). Lembre-se: menos com menos dá mais, então −4 + 7 = 3.

a−b=−4−(−7)a - b = -4 - (-7)

De onde vem cada valor: aa = passo 2: -4 · bb = passo 2: -7

a−b=−4+7=3a - b = -4 + 7 = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que subtrair um número negativo equivale a somar: −4 − (−7) vira −4 + 7, não −4 − 7. Isso levaria a −11.

Resposta: a - b = 3, alternativa A.

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