Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2023

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 40 pontos (alternativa E).

A ideia por trás

A distância do taxista (ou de Manhattan) entre dois pontos é a soma dos módulos das diferenças das coordenadas: d = |x1 - x2| + |y1 - y2|. Ela mede o caminho percorrido em movimentos horizontais e verticais, como um táxi percorrendo quarteirões, em vez da linha reta da distância euclidiana. Para um ponto (x, y) e a origem, a distância é |x| + |y|. A equação |x| + |y| = 10 descreve um losango (quadrado rotacionado) no plano, com vértices nos eixos. O número de pontos inteiros sobre essa figura é o que queremos contar. Nesta questão, precisamos contar quantos pares (x, y) de inteiros satisfazem |x| + |y| = 10, o que pode ser feito analisando os possíveis valores de x e y.

O que a questão dá

• origem do sistema: (0, 0)

• distância do taxista: 10

• coordenadas inteiras: x, y ∈ Z

O que queremos: o número de pontos com coordenadas inteiras cuja distância do taxista à origem é 10

Passo 1 — Escrever a equação da distância

A distância do taxista entre (x, y) e a origem (0, 0) é |x - 0| + |y - 0| = |x| + |y|. Como queremos que essa distância seja 10, montamos a equação que relaciona x e y.

Por que esta fórmula: A definição da distância do taxista é exatamente essa soma de módulos; é a única fórmula que traduz o enunciado.

De onde vem cada valor: $x$ = coordenada do ponto (incógnita) · $y$ = coordenada do ponto (incógnita) · $10$ = enunciado: distância do taxista

Passo 2 — Analisar os valores possíveis de x

Para contar os pontos, precisamos saber quais valores de x são possíveis. Como |y| é não negativo, |x| deve ser no máximo 10, pois |x| + |y| = 10. Assim, x pode variar de -10 a 10.

Por que esta fórmula: A condição |x| ≤ 10 vem diretamente da equação, pois |y| ≥ 0.

De onde vem cada valor: $x$ = incógnita · $10$ = da equação |x|+|y|=10

Passo 3 — Contar os pontos para cada valor de x

Para cada x inteiro, o valor de |y| é determinado: |y| = 10 - |x|. O número de y inteiros que satisfazem isso depende de |x|. Precisamos contar quantos y existem para cada x.

Por que esta fórmula: Da equação |x|+|y|=10, isolamos |y|. Para um dado |x|, se 10-|x| > 0, há dois valores de y (positivo e negativo); se for 0, há um único valor (y=0).

De onde vem cada valor: $|y|$ = isolado da equação do passo 1 · $|x|$ = valor de x escolhido · $10$ = enunciado

Passo 4 — Somar as contribuições de cada faixa de x

A contagem total é a soma dos pontos para todos os x. Dividimos em três casos: |x|=10, |x|=0 e 1 ≤ |x| ≤ 9, pois o número de y difere.

Por que esta fórmula: Para |x|=10, |y|=0 → 1 ponto por x (x=10 e x=-10). Para |x|=0, |y|=10 → 2 pontos (y=±10). Para 1 ≤ |x| ≤ 9, |y| = 10-|x| > 0 → 2 pontos por x, e há 9 valores positivos e 9 negativos de x, total 18 valores de x, cada um com 2 y, dando 36 pontos.

De onde vem cada valor: $2 \times 1$ = dois valores de x com |x|=10, cada um com 1 y · $2$ = um valor de x com |x|=0, com 2 y · $18 \times 2$ = 18 valores de x com 1 ≤ |x| ≤ 9, cada um com 2 y

Resposta: 40 pontos (alternativa E)