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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2023

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fg073592
Banca
FGV
Órgão
Banco do Brasil
Ano
2023
Nível
Médio

sequência de pontos Pn (x, y) de coordenadas inteiras no plano artesiano evolui da seguinte forma:


● P1(1,4).

● Para passar de uma posição para a seguinte, as regras são:

- Se x é par, some 3.

- Se x é ímpar, multiplique por 2.

- Se y é par, subtraia 1.

- Se y é ímpar, some 3.


A soma das coordenadas de P5 é

  1. A20.
  2. B21.
  3. C22.
  4. D23.
  5. E24.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 21.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 21 (letra B).

A ideia por trás

Esta questão trata de sequências definidas por regras de recorrência, onde cada termo é obtido do anterior aplicando-se uma transformação. Aqui, a transformação age separadamente sobre cada coordenada, dependendo da paridade (se o número é par ou ímpar). A paridade é uma propriedade do número inteiro: par é divisível por 2, ímpar não. A cada passo, devemos olhar o valor atual de x e de y, decidir qual regra aplicar, e então calcular o novo valor. A sequência evolui ponto a ponto, e o que se pede é o quinto ponto. O erro mais comum é aplicar a regra usando o valor anterior ou confundir as regras de x e y. Nesta questão, basta aplicar as regras corretamente quatro vezes, sempre verificando a paridade do valor atual.

O que a questão dá

  • P₁ = (1, 4)

  • regras: se x é par, soma 3; se x é ímpar, multiplica por 2; se y é par, subtrai 1; se y é ímpar, soma 3

O que queremos: a soma das coordenadas de P₅

Passo 1 — Calcular P₂ a partir de P₁

Precisamos gerar os pontos seguintes a partir do inicial. Para cada coordenada, olhamos o valor atual e aplicamos a regra correspondente à sua paridade.

Por que esta fórmula: Para x: se ímpar, multiplica por 2; para y: se par, subtrai 1. Essas são as regras dadas.

x2=2⋅x1,y2=y1−1x_2 = 2 \cdot x_1, \quad y_2 = y_1 - 1

De onde vem cada valor: x1x_1 = enunciado: P₁ = (1,4) · y1y_1 = enunciado: P₁ = (1,4)

x2=2⋅1=2,y2=4−1=3x_2 = 2 \cdot 1 = 2, \quad y_2 = 4 - 1 = 3
P2=(2,3)P₂ = \boxed{(2, 3)}
NÃO CAIA NESSA!

Aplicar a regra de y como se fosse ímpar (somar 3) em vez de par (subtrair 1).

Passo 2 — Calcular P₃ a partir de P₂

Agora temos P₂(2,3). Precisamos aplicar as regras novamente, verificando a paridade de cada coordenada atual.

Por que esta fórmula: Para x: se par, soma 3; para y: se ímpar, soma 3.

x3=x2+3,y3=y2+3x_3 = x_2 + 3, \quad y_3 = y_2 + 3

De onde vem cada valor: x2x_2 = passo 1: 2 · y2y_2 = passo 1: 3

x3=2+3=5,y3=3+3=6x_3 = 2 + 3 = 5, \quad y_3 = 3 + 3 = 6
P3=(5,6)P₃ = \boxed{(5, 6)}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a regra de x: como x=2 é par, deveria somar 3, não multiplicar.

Passo 3 — Calcular P₄ a partir de P₃

Temos P₃(5,6). Aplicamos as regras para obter o próximo ponto.

Por que esta fórmula: Para x: se ímpar, multiplica por 2; para y: se par, subtrai 1.

x4=2⋅x3,y4=y3−1x_4 = 2 \cdot x_3, \quad y_4 = y_3 - 1

De onde vem cada valor: x3x_3 = passo 2: 5 · y3y_3 = passo 2: 6

x4=2⋅5=10,y4=6−1=5x_4 = 2 \cdot 5 = 10, \quad y_4 = 6 - 1 = 5
P4=(10,5)P₄ = \boxed{(10, 5)}
NÃO CAIA NESSA!

Aplicar a regra de y como se fosse ímpar (somar 3) em vez de par (subtrair 1).

Passo 4 — Calcular P₅ a partir de P₄

Precisamos do quinto ponto, então aplicamos as regras mais uma vez a partir de P₄.

Por que esta fórmula: Para x: se par, soma 3; para y: se ímpar, soma 3.

x5=x4+3,y5=y4+3x_5 = x_4 + 3, \quad y_5 = y_4 + 3

De onde vem cada valor: x4x_4 = passo 3: 10 · y4y_4 = passo 3: 5

x5=10+3=13,y5=5+3=8x_5 = 10 + 3 = 13, \quad y_5 = 5 + 3 = 8
P5=(13,8)P₅ = \boxed{(13, 8)}
NÃO CAIA NESSA!

Aplicar a regra de x como se fosse ímpar (multiplicar por 2) em vez de par (somar 3).

Passo 5 — Somar as coordenadas de P₅

A questão pede a soma das coordenadas do ponto final, então agora que temos P₅, basta somar x e y.

Por que esta fórmula: A soma é simplesmente a adição das duas coordenadas.

S=x5+y5S = x_5 + y_5

De onde vem cada valor: x5x_5 = passo 4: 13 · y5y_5 = passo 4: 8

S=13+8=21S = 13 + 8 = \boxed{21}
NÃO CAIA NESSA!

Somar as coordenadas de P₄ (10+5=15) em vez de P₅.

Resposta: 21 (letra B)

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