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Questão de Matemática — Porcentagem — FGV 2023

MatemáticaPorcentagem
Código
fg073593
Banca
FGV
Órgão
Banco do Brasil
Ano
2023
Nível
Médio
Oscar, na primeira metade de uma partida de basquete, acertou 12 de 16 arremessos e, na segunda metade, acertou os 8 arremessos que fez. Jordan, por sua vez, fez 12 arremessos na primeira metade do jogo e 18 arremessos na segunda metade.Em cada metade do jogo, o percentual de acertos de Oscar foi maior do que o percentual de acertos de Jordan. Entretanto, ao final do jogo, os percentuais de acerto totais dos dois jogadores foi o mesmo.Na segunda metade do jogo, o número de acertos que Jordan teve a mais do que o seu número de acertos na primeira metade foi
  1. A9.
  2. B10.
  3. C11.
  4. D12.
  5. E13.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 9.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 9 acertos a mais (alternativa A).

A ideia por trás

Porcentagem de acerto é a razão entre acertos e arremessos, multiplicada por 100. Ela mede a eficiência do jogador em cada período. Quando somamos os acertos e os arremessos de duas partes, obtemos o aproveitamento total. Nesta questão, a igualdade dos percentuais totais gera uma equação que relaciona os acertos de Jordan nas duas metades, e as desigualdades de cada metade limitam os valores possíveis. O desafio é usar essas condições para achar a diferença pedida.

O que a questão dá

  • Oscar 1ª metade: 12 acertos em 16 arremessos

  • Oscar 2ª metade: 8 acertos em 8 arremessos

  • Jordan 1ª metade: 12 arremessos

  • Jordan 2ª metade: 18 arremessos

  • Percentual de Oscar > percentual de Jordan em cada metade

  • Percentual total de Oscar = percentual total de Jordan

O que queremos: o número de acertos que Jordan teve a mais na segunda metade do que na primeira (y - x)

Passo 1 — Calcular o aproveitamento total de Oscar

Precisamos do percentual total de Oscar porque ele é igual ao de Jordan, e isso vai gerar a equação principal. O aproveitamento total é a razão entre o total de acertos e o total de arremessos.

Por que esta fórmula: O percentual de acerto é sempre acertos dividido por arremessos. Para o total, somamos os acertos das duas metades e dividimos pela soma dos arremessos.

POscar,total=12+816+8P_{Oscar,total} = \frac{12 + 8}{16 + 8}

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: Oscar acertou 12 na 1ª metade · 88 = enunciado: Oscar fez 8 arremessos na 2ª metade · 1616 = enunciado: Oscar fez 16 arremessos na 1ª metade

POscar,total=2024=56≈83,33%P_{Oscar,total} = \frac{20}{24} = \boxed{\frac{5}{6} \approx 83{,}33\%}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os arremessos e usar apenas uma metade.

Passo 2 — Definir as variáveis de Jordan

Para montar as equações dos percentuais de Jordan, precisamos nomear os acertos de cada metade, já que não são dados diretamente.

NÃO CAIA NESSA!

Confundir acertos com arremessos.

Passo 3 — Montar a equação dos percentuais totais iguais

O enunciado diz que os percentuais totais são iguais. Isso nos dá uma equação que relaciona x e y, os acertos de Jordan.

Por que esta fórmula: O percentual total de Jordan é (x+y)/30, pois ele fez 12+18=30 arremessos. Igualando ao percentual de Oscar, obtemos uma equação linear.

2024=x+y30\frac{20}{24} = \frac{x+y}{30}

De onde vem cada valor: 2024\frac{20}{24} = passo 1 · xx = definido no passo 2 · yy = definido no passo 2 · 3030 = enunciado: 12 + 18 arremessos de Jordan

56=x+y30\frac{5}{6} = \frac{x+y}{30}
x+y=25x + y = \boxed{25}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 12 e 18 como acertos, mas são arremessos.

Passo 4 — Aplicar a desigualdade da primeira metade

O percentual de Oscar na primeira metade é maior que o de Jordan, então o percentual de Jordan deve ser menor que 75%. Isso limita o valor de x.

Por que esta fórmula: O percentual de Jordan na primeira metade é x/12. A condição é 12/16 > x/12, que simplifica para x < 9.

1216>x12\frac{12}{16} > \frac{x}{12}

De onde vem cada valor: 1216\frac{12}{16} = enunciado: Oscar acertou 12 de 16 · xx = passo 2 · 1212 = enunciado: Jordan fez 12 arremessos na 1ª metade

0,75>x12=x<90{,}75 > \frac{x}{12} = \boxed{\text{x} < 9}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter o sinal da desigualdade.

Passo 5 — Aplicar a desigualdade da segunda metade

O percentual de Oscar na segunda metade é 100%, então o de Jordan deve ser menor que 100%, o que dá y < 18. Isso garante que y não ultrapasse o total de arremessos.

Por que esta fórmula: O percentual de Jordan na segunda metade é y/18. A condição é 8/8 > y/18, que simplifica para y < 18.

88>y18\frac{8}{8} > \frac{y}{18}

De onde vem cada valor: 88\frac{8}{8} = enunciado: Oscar acertou 8 de 8 · yy = passo 2 · 1818 = enunciado: Jordan fez 18 arremessos na 2ª metade

1>y18=y<181 > \frac{y}{18} = \boxed{\text{y} < 18}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que y também deve ser inteiro e não negativo.

Passo 6 — Encontrar a diferença y - x

Com a equação x + y = 25 e as desigualdades, podemos expressar y - x em função de x e usar as restrições para achar o valor único. Como x é inteiro e x < 9, testamos os valores possíveis.

Por que esta fórmula: Da equação x + y = 25, isolamos y = 25 - x. Então y - x = 25 - 2x. As desigualdades dão x < 9 e y < 18, ou seja, 25 - x < 18 → x > 7. Portanto x = 8, pois é inteiro e 7 < x < 9.

y−x=25−2xy - x = 25 - 2x

De onde vem cada valor: 2525 = passo 3 · xx = passo 2

y−x=25−2⋅8=9y - x = 25 - 2 \cdot 8 = \boxed{9}
NÃO CAIA NESSA!

Não perceber que x deve ser 8, pois x > 7 e x < 9.

Resposta: 9 acertos a mais (alternativa A)

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