Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

Transferência de bolas entre caixas

Gabarito: letra C. Após transferir 7 bolas azuis de A para B e, em seguida, 5 bolas de B para A, a caixa A pode ter, no máximo, 6 bolas azuis a mais do que a caixa B. Isso porque, na pior hipótese, as 5 bolas devolvidas a A são todas verdes, fazendo com que A fique com 8 bolas azuis e B com apenas 2 azuis — diferença de 6. A questão é um clássico de raciocínio lógico com quantidades, sem necessidade de probabilidade.

Vamos entender o que acontece em cada etapa. Inicialmente, a caixa A tem 10 bolas azuis e a caixa B tem 10 bolas verdes. Ao transferir 7 bolas azuis de A para B, a caixa A fica com 3 bolas azuis, e a caixa B passa a ter 10 verdes + 7 azuis = 17 bolas no total. Agora, retiramos 5 bolas de B (que contém 7 azuis e 10 verdes) e as colocamos em A. O ponto-chave é que não sabemos quantas dessas 5 bolas são azuis e quantas são verdes — pode variar de 0 a 5 azuis (e, consequentemente, de 5 a 0 verdes).

Vamos analisar os extremos para entender os limites:

• Caso extremo 1 (máximo de azuis em A): se as 5 bolas retiradas de B forem todas verdes, então A recebe 5 verdes e nenhuma azul. A fica com 3 azuis + 5 verdes = 8 bolas; B fica com 7 azuis + 5 verdes = 12 bolas. Diferença de azuis: A tem 3, B tem 7 → B tem 4 azuis a mais.

• Caso extremo 2 (mínimo de azuis em A): se as 5 bolas retiradas de B forem todas azuis, então A recebe 5 azuis e nenhuma verde. A fica com 3 + 5 = 8 azuis; B fica com 7 − 5 = 2 azuis. Diferença: A tem 8, B tem 2 → A tem 6 azuis a mais.

Portanto, a diferença máxima de azuis a favor de A é exatamente 6, o que torna a alternativa C correta. As demais alternativas fazem afirmações absolutas que não se sustentam em todos os casos possíveis.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a caixa A tem mais bolas azuis do que a B. Isso não é garantido: no caso extremo 1 (todas as 5 devolvidas verdes), A fica com 3 azuis e B com 7 azuis — B tem mais azuis. Portanto, a afirmação é falsa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a caixa B tem mais bolas verdes do que a A. No caso extremo 2 (todas as 5 devolvidas azuis), A fica com 5 verdes e B com 5 verdes — empate. Em outros casos, B pode ter mais, mas não é garantido. Logo, a afirmação é falsa.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que a caixa A tem, no máximo, 6 bolas azuis a mais do que a B. Como vimos, o máximo ocorre quando as 5 bolas devolvidas são todas azuis: A fica com 8 azuis e B com 2 azuis, diferença de 6. Em nenhum cenário a diferença pode ser maior que 6, pois A só pode receber no máximo 5 azuis de volta (e já tinha 3). Portanto, a afirmação é correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a caixa B tem, no mínimo, 2 bolas azuis a mais do que a A. Isso é falso: no caso extremo 2, A tem 8 azuis e B tem 2 azuis — A tem 6 a mais, não B. A afirmação inverte o sentido.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que as duas caixas têm o mesmo número de bolas verdes. No caso extremo 1, A tem 5 verdes e B tem 5 verdes (empate), mas no caso extremo 2, A tem 5 verdes e B tem 10 verdes (B tem mais). Como não é garantido o empate, a afirmação é falsa.

Gabarito: letra C