Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2023

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a A razão entre as quantias aplicadas nos bancos A e B é 2/3, alternativa A..

A ideia por trás

Quando um valor sofre um aumento ou uma diminuição percentual, o valor final é obtido multiplicando o valor inicial por um fator: para um aumento de 8%, multiplica-se por 1,08; para uma perda de 2%, multiplica-se por 0,98. A soma dos valores finais é igual a 102% do capital total, ou seja, 1,02 vezes C. Como o capital total é a soma das partes aplicadas, podemos montar uma equação que relaciona as duas partes e, a partir dela, encontrar a razão pedida. Nesta questão, o que importa é montar corretamente a equação com os fatores multiplicativos e resolver para a razão x/y.

O que a questão dá

• capital total = C

• rendimento do banco A = +8%

• rendimento do banco B = -2%

• soma dos resgates = 102% de C

O que queremos: a razão entre as quantias aplicadas nos bancos A e B, nessa ordem

Passo 1 — Definir as incógnitas e o capital total

Para trabalhar com as quantias, precisamos nomeá-las. Chamamos de x a parte aplicada no banco A e de y a parte no banco B. Como o capital total é C, temos que x + y = C.

Por que esta fórmula: A soma das partes aplicadas é o capital total, pois Roberto aplicou todo o capital nos dois bancos.

De onde vem cada valor: $C$ = enunciado: capital total · $x$ = definição: parte aplicada no banco A · $y$ = definição: parte aplicada no banco B

Passo 2 — Escrever os resgates com os fatores

Cada resgate é o valor aplicado multiplicado pelo fator de rendimento: um aumento de 8% vira 1,08 e uma perda de 2% vira 0,98. Isso transforma os percentuais em números que podemos usar na equação.

Por que esta fórmula: O valor final após um rendimento é o valor inicial vezes (1 + taxa), onde a taxa é positiva para ganho e negativa para perda.

De onde vem cada valor: $1{,}08$ = enunciado: rendimento de 8% (1 + 0,08) · $0{,}98$ = enunciado: desvalorização de 2% (1 - 0,02) · $x$ = passo 1 · $y$ = passo 1

Passo 3 — Montar a equação do resgate total

O enunciado diz que a soma dos dois resgates é 102% de C, ou seja, 1,02C. Como já temos as expressões para cada resgate, podemos igualar a soma a 1,02C.

Por que esta fórmula: A soma dos valores finais é igual ao valor final do capital total, que é 1,02 vezes o capital inicial.

De onde vem cada valor: $1{,}08x$ = passo 2 · $0{,}98y$ = passo 2 · $1{,}02$ = enunciado: 102% de C · $C$ = passo 1

Passo 4 — Expandir e simplificar a equação

Para encontrar a razão x/y, precisamos isolar os termos com x e y. Expandindo o lado direito e depois subtraindo os termos, conseguimos uma relação simples entre x e y.

Por que esta fórmula: Distribuímos a multiplicação e depois movemos os termos para um lado, de modo a agrupar x e y.

De onde vem cada valor: $1{,}08x$ = passo 3 · $0{,}98y$ = passo 3 · $1{,}02x$ = passo 3: 1,02 · x · $1{,}02y$ = passo 3: 1,02 · y

Passo 5 — Isolar x e y

Subtraindo 1,02x e 0,98y de ambos os lados, ficamos com uma equação que relaciona diretamente x e y, sem o C.

Por que esta fórmula: Para resolver a equação, movemos os termos com x para um lado e os com y para o outro, subtraindo os coeficientes.

De onde vem cada valor: $0{,}06$ = passo 4: 1,08 - 1,02 · $0{,}04$ = passo 4: 1,02 - 0,98

Passo 6 — Calcular a razão x/y

A razão pedida é x/y. Dividindo ambos os lados da equação por 0,04y, obtemos a razão diretamente.

Por que esta fórmula: Para isolar x/y, dividimos ambos os lados por 0,04y, lembrando que y é diferente de zero.

De onde vem cada valor: $0{,}04$ = passo 5 · $0{,}06$ = passo 5

Resposta: A razão entre as quantias aplicadas nos bancos A e B é 2/3, alternativa A.