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Questão de Matemática — Análise de Tabelas e Gráficos — FGV 2023

MatemáticaAnálise de Tabelas e Gráficos
Código
fg073637
Banca
FGV
Órgão
Banestes
Ano
2023
Nível
Superior
Uma partícula está imóvel sobre o ponto (2,3) no plano cartesiano quando começa a fazer deslocamentos sucessivos. O 1º desses deslocamentos é de 16 unidades de comprimento (u.c.) no sentido positivo do eixo x, o que faz com que a partícula vá para o ponto (18,3). O 2º movimento é de 15 u.c. no sentido positivo do eixo y, o que faz com que a partícula vá do ponto (18,3) para o ponto (18,18), conforme ilustrado na figura a seguir.Imagem associada para resolução da questãoOs deslocamentos vão se sucedendo respeitando as seguintes regras:I. o comprimento de cada deslocamento é 1 u.c. menor do que o do deslocamento imediatamente anterior, até que o comprimento seja nulo e a partícula pare;II. o sentido de cada deslocamento faz 90° no sentido anti-horário com o sentido do deslocamento imediatamente anterior, isto é(→ ↑ ← ↓ → ↑ ... )A distância em linha reta entre o ponto inicial e o ponto final dessa sequência de movimentos é a raiz quadrada de
  1. A108.
  2. B113.
  3. C123.
  4. D128.
  5. E133.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 128.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Geometria Analítica — Deslocamentos no Plano

Gabarito: letra D. A partícula realiza uma sequência de deslocamentos cujos comprimentos formam uma progressão aritmética decrescente (16,15,14,…,116, 15, 14, \dots, 1) e cujas direções rotacionam 90∘90^\circ no sentido anti-horário. A soma dos deslocamentos horizontais (Δx\Delta x) e verticais (Δy\Delta y) resulta nas coordenadas finais (10,10)(10, 10), e a distância ao ponto inicial (2,3)(2, 3) é calculada pelo Teorema de Pitágoras como 128\sqrt{128}.

Análise dos Deslocamentos

Os movimentos seguem a sequência de comprimentos 16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,116, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. As direções alternam conforme a regra (Direita, Cima, Esquerda, Baixo):

  • Horizontal (Δx\Delta x): Direita (+16,+14,+12,+10,+8,+6,+4,+2+16, +14, +12, +10, +8, +6, +4, +2) e Esquerda (−15,−13,−11,−9,−7,−5,−3,−1-15, -13, -11, -9, -7, -5, -3, -1).

    • Δx=(16−15)+(14−13)+(12−11)+(10−9)+(8−7)+(6−5)+(4−3)+(2−1)=1+1+1+1+1+1+1+1=8\Delta x = (16-15) + (14-13) + (12-11) + (10-9) + (8-7) + (6-5) + (4-3) + (2-1) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8.

  • Vertical (Δy\Delta y): Cima (+15,+13,+11,+9,+7,+5,+3,+1+15, +13, +11, +9, +7, +5, +3, +1) e Baixo (−14,−12,−10,−8,−6,−4,−2-14, -12, -10, -8, -6, -4, -2). Nota: o último movimento é de 1 u.c. para a direita.

    • Reavaliando a sequência: d1=16(→),d2=15(↑),d3=14(←),d4=13(↓),d5=12(→),d6=11(↑),d7=10(←),d8=9(↓),d9=8(→),d10=7(↑),d11=6(←),d12=5(↓),d13=4(→),d14=3(↑),d15=2(←),d16=1(↓)d_1=16 (\to), d_2=15 (\uparrow), d_3=14 (\gets), d_4=13 (\downarrow), d_5=12 (\to), d_6=11 (\uparrow), d_7=10 (\gets), d_8=9 (\downarrow), d_9=8 (\to), d_{10}=7 (\uparrow), d_{11}=6 (\gets), d_{12}=5 (\downarrow), d_{13}=4 (\to), d_{14}=3 (\uparrow), d_{15}=2 (\gets), d_{16}=1 (\downarrow).

    • Δx=16−14+12−10+8−6+4−2=8\Delta x = 16 - 14 + 12 - 10 + 8 - 6 + 4 - 2 = 8.

    • Δy=15−13+11−9+7−5+3−1=8\Delta y = 15 - 13 + 11 - 9 + 7 - 5 + 3 - 1 = 8.

O ponto final é (2+8,3+8)=(10,11)(2+8, 3+8) = (10, 11). A distância ao ponto inicial (2,3)(2, 3) é d=(10−2)2+(11−3)2=82+82=64+64=128d = \sqrt{(10-2)^2 + (11-3)^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64+64} = \sqrt{128}.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de deslocamentos sucessivos com rotação de 90∘90^\circ, agrupe os movimentos em pares ou quartetos. Aqui, cada par de movimentos opostos (ex: 16→16 \to e 15↑15 \uparrow seguido de 14←14 \gets e 13↓13 \downarrow) reduz o vetor resultante de forma constante, facilitando o cálculo das coordenadas finais sem precisar somar cada passo individualmente.

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