Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2023

Distância entre dois pontos no plano cartesiano

Gabarito: letra D — os pontos mais próximos são B(2,3) e D(3,4), cuja distância é $\sqrt{2} \approx 1,41$, a menor entre todos os pares listados. A distância entre dois pontos $P(x_1,y_1)$ e $Q(x_2,y_2)$ é dada pela fórmula $d(P,Q) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$, que decorre diretamente do Teorema de Pitágoras.

A questão pede que você compare as distâncias entre pares de pontos dados. O caminho mais seguro é calcular cada distância com a fórmula e comparar os resultados. Vamos fazer isso para todos os pares apresentados nas alternativas.

A fórmula da distância é a aplicação direta do Teorema de Pitágoras: a diferença das abscissas ($\Delta x$) e a diferença das ordenadas ($\Delta y$) formam os catetos de um triângulo retângulo, e a distância entre os pontos é a hipotenusa. Por isso, $d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$.

Vamos calcular cada par:

• A e D: A(0,4) e D(3,4) → $\Delta x = 3$, $\Delta y = 0$ → $d = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$

• A e E: A(0,4) e E(-1,2) → $\Delta x = -1$, $\Delta y = -2$ → $d = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \approx 2,24$

• B e C: B(2,3) e C(2,1) → $\Delta x = 0$, $\Delta y = -2$ → $d = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$

• B e D: B(2,3) e D(3,4) → $\Delta x = 1$, $\Delta y = 1$ → $d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1,41$

• C e E: C(2,1) e E(-1,2) → $\Delta x = -3$, $\Delta y = 1$ → $d = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} \approx 3,16$

Comparando os valores: $\sqrt{2} \approx 1,41$ é o menor de todos. Portanto, B e D são os pontos mais próximos.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A distância entre A(0,4) e D(3,4) é 3. Como os dois pontos têm a mesma ordenada (y = 4), a distância é simplesmente a diferença das abscissas: $|3 - 0| = 3$. Esse valor é maior que $\sqrt{2}$, então não é o par mais próximo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A distância entre A(0,4) e E(-1,2) é $\sqrt{5} \approx 2,24$. Aplicando a fórmula: $\Delta x = -1$, $\Delta y = -2$, então $d = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$. Esse valor é maior que $\sqrt{2}$, então não é o par mais próximo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A distância entre B(2,3) e C(2,1) é 2. Como os dois pontos têm a mesma abscissa (x = 2), a distância é a diferença das ordenadas: $|3 - 1| = 2$. Esse valor é maior que $\sqrt{2}$, então não é o par mais próximo.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A distância entre B(2,3) e D(3,4) é $\sqrt{2} \approx 1,41$. Calculando: $\Delta x = 1$, $\Delta y = 1$, então $d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Esse é o menor valor entre todos os pares, confirmando que B e D são os pontos mais próximos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A distância entre C(2,1) e E(-1,2) é $\sqrt{10} \approx 3,16$. Calculando: $\Delta x = -3$, $\Delta y = 1$, então $d = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$. Esse é o maior valor entre os pares listados, portanto não é o par mais próximo.

Gabarito: letra D