Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

Probabilidade Condicional — Soma Fixa e Evento com Restrição

Gabarito: letra D (3/7). A questão condiciona o espaço amostral: só interessam os lançamentos cuja soma é 8. Dentre as 21 combinações ordenadas que somam 8, exatamente 9 contêm o número 3, logo a probabilidade pedida é $\frac{9}{21} = \frac{3}{7}$. O erro clássico é calcular a probabilidade sobre o espaço amostral total ($6^3 = 216$), ignorando a condição da soma.

O ponto central é entender que a informação "a soma foi 8" reduz o espaço amostral. Não estamos mais diante de 216 resultados igualmente prováveis, mas apenas daqueles cuja soma é 8. Como o dado é honesto, cada sequência ordenada de três números tem a mesma probabilidade $\frac{1}{216}$; portanto, dentro do subconjunto das sequências que somam 8, todas continuam equiprováveis. A probabilidade condicional é, então, a razão entre o número de sequências favoráveis (que contêm o 3) e o total de sequências com soma 8.

Vamos listar todas as triplas ordenadas $(a,b,c)$ com $a+b+c=8$, onde cada número varia de 1 a 6. Organizando pelo primeiro número:

• Começando com 1: $b+c=7$ → (1,1,6), (1,2,5), (1,3,4), (1,4,3), (1,5,2), (1,6,1) → 6 sequências.

• Começando com 2: $b+c=6$ → (2,1,5), (2,2,4), (2,3,3), (2,4,2), (2,5,1) → 5 sequências.

• Começando com 3: $b+c=5$ → (3,1,4), (3,2,3), (3,3,2), (3,4,1) → 4 sequências.

• Começando com 4: $b+c=4$ → (4,1,3), (4,2,2), (4,3,1) → 3 sequências.

• Começando com 5: $b+c=3$ → (5,1,2), (5,2,1) → 2 sequências.

• Começando com 6: $b+c=2$ → (6,1,1) → 1 sequência.

Total: $6+5+4+3+2+1 = 21$ sequências com soma 8.

Agora, contamos as sequências que contêm o número 3 pelo menos uma vez. Podemos fazer a contagem direta ou usar o complemento (nenhum 3). Vamos pela contagem direta, marcando as sequências da lista acima que têm o 3:

• (1,3,4), (1,4,3) → 2

• (2,3,3) → 1

• (3,1,4), (3,2,3), (3,3,2), (3,4,1) → 4

• (4,1,3), (4,3,1) → 2

Total: $2+1+4+2 = 9$ sequências favoráveis.

Portanto, a probabilidade é $\frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

10/21. Esse valor corresponde a contar 10 sequências favoráveis, o que ocorre se o candidato conta a sequência (3,3,3) — que não soma 8 — ou erra a contagem das triplas com o número 3. A contagem correta é 9, não 10.

Alternativa B — ❌ Incorreta

8/21. Esse valor é o resultado de contar apenas 8 sequências favoráveis. O erro típico é esquecer alguma das permutações, como (3,1,4) ou (4,3,1). A contagem correta é 9.

Alternativa C — ❌ Incorreta

5/18. Esse valor não corresponde a nenhuma contagem natural do problema. Provavelmente o candidato calculou a probabilidade sobre o espaço amostral total (216) de forma incorreta ou usou uma fração simplificada de uma contagem errada. Não há 5/18 como razão entre 9 e 21 (que simplifica para 3/7).

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

3/7. Como demonstrado, há 21 sequências ordenadas com soma 8 e, dentre elas, 9 contêm o número 3. A probabilidade é $\frac{9}{21} = \frac{3}{7}$. A alternativa espelha exatamente a razão entre os casos favoráveis e o total de casos possíveis dentro da condição.

Alternativa E — ❌ Incorreta

2/3. Esse valor é o resultado de um raciocínio equivocado: o candidato pode ter calculado a probabilidade de sair 3 em pelo menos um dos três lançamentos sem considerar a condição da soma, obtendo $1 - (5/6)^3 = 91/216$, que é aproximadamente 0,42, ou pode ter simplificado incorretamente alguma outra contagem. Não corresponde à razão correta 9/21.

Gabarito: letra D