Questão de Matemática — Porcentagem — FGV 2023

Porcentagem: variações sucessivas e comparação com o valor inicial

Gabarito: letra A — o valor anunciado (R$ 209,00) é R$ 9,00 maior que o valor inicial (R$ 200,00). O caminho é: chamando o preço inicial de $x$, o aumento de 10% leva a $1{,}10x$; o desconto de 5% sobre esse valor leva a $1{,}10 \times 0{,}95 \, x = 1{,}045x$, que é igual a R$ 209,00. Logo $x = 200$ e a diferença é $209 - 200 = 9$.

A questão trabalha com variações percentuais sucessivas: quando uma mercadoria sofre um aumento de $p\%$ seguido de um desconto de $q\%$, o fator final é o produto dos fatores individuais — $(100+p)\% \times (100-q)\%$. Aqui, o fator combinado é $1{,}10 \times 0{,}95 = 1{,}045$, ou seja, um aumento líquido de $4{,}5\%$ sobre o preço original. É exatamente esse fator que permite recuperar o valor inicial a partir do preço anunciado.

A pegadinha clássica deste tipo de questão é achar que +10% e −5% se cancelam (dando +5%), ou aplicar o desconto sobre o preço original em vez de sobre o preço já aumentado. A ordem importa: o desconto incide sobre o valor depois do aumento, não sobre o valor inicial. Por isso o resultado não é $x \times 1{,}05$, mas $x \times 1{,}045$.

Vamos ao cálculo passo a passo:

1. Seja $x$ o valor inicial.

2. Após o aumento de 10%: $x \times 1{,}10$.

3. Após o desconto de 5% sobre esse valor: $x \times 1{,}10 \times 0{,}95 = x \times 1{,}045$.

4. Esse valor é R$ 209,00: $x \times 1{,}045 = 209$.

5. Logo, $x = \dfrac{209}{1{,}045} = 200$.

6. Diferença: $209 - 200 = 9$ reais a mais.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor inicial é R$ 200,00 e o anunciado é R$ 209,00, portanto o anunciado é R$ 9,00 maior. Confere com o cálculo: $x = 200$ e $209 - 200 = 9$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

R$ 10,45 maior seria o resultado se o desconto de 5% fosse aplicado sobre o valor inicial (R$ 200,00) em vez de sobre o valor já aumentado (R$ 220,00). Nesse caso, o valor final seria $200 \times 1{,}10 \times 0{,}95 = 209$, mas a diferença seria $209 - 200 = 9$, não 10,45. O número 10,45 corresponde a $209 \times 0{,}05$, um cálculo sem sentido aqui.

Alternativa C — ❌ Incorreta

R$ 12,50 menor não corresponde a nenhuma operação coerente com os dados. Se o valor inicial fosse R$ 221,50, o anunciado seria R$ 12,50 menor, mas isso não satisfaz a equação $x \times 1{,}045 = 209$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

R$ 20,00 menor implicaria um valor inicial de R$ 229,00, o que não bate com o fator 1,045. Esse número poderia surgir de um erro de cálculo, como aplicar o desconto de 5% sobre R$ 220,00 e obter R$ 209,00, mas a diferença correta é 9, não 20.

Alternativa E — ❌ Incorreta

R$ 20,90 maior seria o resultado se o aumento fosse de 10% e o desconto de 5% não fosse aplicado (R$ 220,00 − R$ 200,00 = R$ 20,00, não 20,90). O valor 20,90 não tem relação com o problema.

Gabarito: letra A