Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

Probabilidade condicional com dado honesto

Gabarito: letra D — a probabilidade é $\frac{7}{12}$. Como o primeiro lançamento já ocorreu e resultou em número maior que 4 (ou seja, 5 ou 6), o espaço amostral fica reduzido a esses dois resultados igualmente prováveis. Para cada um deles, contamos os resultados do segundo lançamento que fazem a soma ultrapassar 8 e somamos as probabilidades condicionais.

A questão mistura dois conceitos que costumam andar juntos: a probabilidade condicional (porque há uma informação prévia que restringe o espaço amostral) e a contagem de casos favoráveis em um experimento com resultados equiprováveis. O dado é honesto, então cada face tem probabilidade $\frac{1}{6}$; mas, ao sabermos que o primeiro lançamento foi 5 ou 6, o espaço amostral deixa de ter 36 resultados e passa a ter apenas 12 (2 possibilidades para o primeiro × 6 para o segundo).

A armadilha clássica aqui é o candidato esquecer de reduzir o espaço amostral e calcular a probabilidade sobre os 36 resultados originais, obtendo $\frac{7}{36}$ — que não está entre as alternativas. Outro erro comum é contar os casos favoráveis sem separar por valor do primeiro lançamento, pois as condições mudam: se saiu 5, o segundo dado precisa ser 4, 5 ou 6; se saiu 6, o segundo dado precisa ser 3, 4, 5 ou 6.

Vamos ao cálculo passo a passo.

Passo 1 — Reduzir o espaço amostral

O primeiro lançamento resultou em um número maior que 4: $\{5, 6\}$. Cada um desses dois resultados tem probabilidade $\frac{1}{2}$ (pois são igualmente prováveis entre si). O segundo lançamento pode ser qualquer face de 1 a 6, com probabilidade $\frac{1}{6}$ cada.

Passo 2 — Contar os casos favoráveis para cada primeiro resultado

• Primeiro lançamento = 5: a soma será maior que 8 se o segundo dado for 4, 5 ou 6 (pois $5+4=9$, $5+5=10$, $5+6=11$). São 3 casos favoráveis.

• Primeiro lançamento = 6: a soma será maior que 8 se o segundo dado for 3, 4, 5 ou 6 (pois $6+3=9$, $6+4=10$, $6+5=11$, $6+6=12$). São 4 casos favoráveis.

Passo 3 — Aplicar a probabilidade condicional

A probabilidade total é a soma das probabilidades de cada ramo:

Portanto, a probabilidade pedida é $\frac{7}{12}$, que corresponde à letra D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{1}{2}$ seria a resposta se, por exemplo, a condição fosse "primeiro lançamento maior que 3" e a soma maior que 7, ou se o candidato contasse apenas os casos em que o primeiro lançamento é 6 (4 favoráveis em 8 possíveis, o que daria $\frac{1}{2}$). Mas aqui o primeiro lançamento pode ser 5 ou 6, e o segundo precisa variar conforme o caso — o que aumenta a probabilidade para $\frac{7}{12}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{2}{3}$ é um valor maior que o correto. Ele surgiria se o candidato considerasse que, com o primeiro lançamento 5 ou 6, a soma "quase sempre" passa de 8 — mas não é verdade: se o primeiro for 5 e o segundo for 1, 2 ou 3, a soma fica em 6, 7 ou 8, não ultrapassando 8. O cálculo correto exige contar os casos favoráveis de cada ramo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{5}{8}$ é um valor intermediário que não corresponde a nenhuma contagem natural do problema. Ele poderia ser obtido por um erro de contagem, como considerar 5 casos favoráveis em 8 possíveis (esquecendo que o segundo dado tem 6 faces, não 4). O correto é $\frac{7}{12}$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a probabilidade é $\frac{7}{12}$. A soma das probabilidades condicionais de cada ramo (primeiro lançamento 5 ou 6) resulta exatamente nesse valor.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{9}{16}$ é um valor que não corresponde a nenhuma contagem correta. Ele poderia surgir de uma confusão entre o número de casos favoráveis e o total de casos possíveis, ou de um cálculo que mistura os dois ramos sem ponderar pelas probabilidades de cada primeiro resultado. O correto é $\frac{7}{12}$.

Gabarito: letra D