Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg073787

Análise Combinatória: contagem de pares ordenados

Gabarito: letra C — o total de pares ordenados $(x, y)$ com $x$ par, $y$ qualquer e $x > y$ é 90. A resolução usa o Princípio Fundamental da Contagem (multiplicativo): para cada abscissa par, contamos quantas ordenadas são menores que ela e somamos os resultados.

O conjunto é $\{2, 3, 4, \dots, 20\}$ , com 19 elementos. As abscissas devem ser números pares desse conjunto: $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20$ — são 10 valores. Para cada abscissa $x$ , a ordenada $y$ pode ser qualquer número do conjunto (par ou ímpar) que seja menor que $x$ . Como o conjunto começa em 2, a quantidade de números menores que $x$ é $x - 1$ (pois há $x - 1$ números naturais de 1 até $x-1$ , e todos pertencem ao conjunto, exceto o 1, que não está — mas o 1 não é menor que 2, então a contagem $x-1$ já exclui o 1 corretamente).

Vamos somar as possibilidades para cada abscissa par:

Abscissa $x$	Ordenadas possíveis ( $y < x$ )	Quantidade
2	— (nenhum número do conjunto é menor que 2)	0
4	2, 3	2
6	2, 3, 4, 5	4
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	6
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	8
12	2, 3, ..., 11	10
14	2, 3, ..., 13	12
16	2, 3, ..., 15	14
18	2, 3, ..., 17	16
20	2, 3, ..., 19	18

Somando: $0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 90$ .

Outra forma: para cada abscissa par $x$ , há $x - 1$ ordenadas possíveis. A soma é $\sum_{x \in \{2,4,\dots,20\}} (x - 1) = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19) = 100 - 10 = 90$ (soma dos 10 primeiros ímpares).

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 120 seria obtido se contássemos todos os pares ordenados com abscissa par, sem a restrição $x > y$ : $10 \times 19 = 190$ (não é 120). Ou, se considerássemos apenas as ordenadas pares menores que $x$ , teríamos menos que 90. O número 120 não corresponde a nenhuma contagem natural aqui — é um distrator.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 100 seria obtido se contássemos $10 \times 10 = 100$ , ou seja, todas as combinações de abscissa par com ordenada par (ou qualquer outra combinação de 10 com 10), ignorando a condição $x > y$ . A condição de ordem reduz o total para 90.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A contagem correta soma, para cada abscissa par, o número de ordenadas menores que ela: $0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 90$ . Cada abscissa par $x$ tem exatamente $x - 1$ números do conjunto menores que ela (todos os números de 2 até $x-1$ ).

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 80 seria obtido se excluíssemos a abscissa 20 (que contribui com 18 pares) ou se cometêssemos algum erro de soma. Não corresponde a nenhuma contagem correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 60 seria obtido se considerássemos apenas as abscissas pares até 12 (somando $0+2+4+6+8+10 = 30$ ) e multiplicássemos por 2, ou se contássemos apenas as ordenadas pares. Não corresponde à contagem correta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre pares ordenados e combinações. Em um par ordenado, $(4, 2)$ e $(2, 4)$ são diferentes — mas aqui a condição $x > y$ elimina metade deles. O candidato apressado conta $10 \times 19 = 190$ (todos os pares com abscissa par) e erra. A condição $x > y$ é o coração da questão: para cada abscissa, só valem as ordenadas menores.

PEGA ESSA DICA!

Quando a condição é $x > y$ (ou $x < y$ ), a soma das quantidades $0 + 2 + 4 + \dots$ é a ferramenta. Se os valores formarem uma PA, use a fórmula da soma: $S = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ . Aqui: $\frac{(0 + 18) \cdot 10}{2} = 90$ . Isso resolve em segundos na prova!

Gabarito: letra C