Questão de Matemática — Quadriláteros — FGV 2023

Geometria Plana — Cálculo de Áreas

Gabarito: letra C. A área da região simultaneamente externa ao círculo e interna ao quadrado é obtida pela diferença entre a área do quadrado e a área do setor circular contido nele. Como o vértice do quadrado coincide com o centro do círculo e o raio mede 4 cm, o lado do quadrado também mede 4 cm, resultando em uma área de 16 cm² para o quadrado e uma área de 4π cm² para o quarto de círculo (setor de 90°).

Para resolver, observe a geometria da figura:

1. Área do Quadrado: O lado do quadrado é igual ao raio do círculo ($L = R = 4$ cm). Logo, $A_{quadrado} = L^2 = 4^2 = 16$ cm².

2. Área do Setor Circular: O quadrado cobre um ângulo de 90° do círculo, o que corresponde a um quarto da área total do círculo ($A_{círculo} = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$). Portanto, $A_{setor} = \frac{16\pi}{4} = 4\pi$ cm².

3. Área Sombreada: A região pedida é a parte do quadrado que não está sobreposta ao círculo: $A_{sombreada} = A_{quadrado} - A_{setor} = 16 - 4\pi$ cm².

Alternativa A — ❌ Incorreta

Inverte a ordem da subtração e aplica um fator incorreto ao raio, resultando em um valor negativo ou fisicamente impossível para a área da região descrita.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Calcula a área total do círculo ($16\pi$) e subtrai a área do quadrado, o que não corresponde à região interna ao quadrado e externa ao círculo.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Representa corretamente a diferença entre a área do quadrado de lado 4 cm ($16$) e a área do setor circular de 90° com raio 4 cm ($4\pi$).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Utiliza um fator incorreto para a área do setor circular, possivelmente confundindo o cálculo com o comprimento de arco ou outra proporção geométrica.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Subtrai apenas uma fração unitária de $\pi$ da área do quadrado, ignorando a proporção correta do setor circular de 90°.