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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2023

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fg073862
Banca
FGV
Órgão
MPE-SP
Ano
2023
Nível
Superior
Jorge tem 325 bolinhas de gude e vai dividi-las entre seus dois filhos em quantias inversamente proporcionais a 5 e 8.A diferença entre as quantidades de bolinhas recebidas pelos filhos de Jorge é
  1. A30.
  2. B45.
  3. C50.
  4. D60.
  5. E75.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 75.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 75 bolinhas (alternativa E).

A ideia por trás

Na divisão em partes inversamente proporcionais, as partes são distribuídas de modo que, quanto maior o número dado, menor a parte recebida. Isso significa que o produto entre cada parte e o número correspondente é constante — diferente da divisão diretamente proporcional, onde a razão entre parte e número é constante. A unidade aqui é a própria quantidade de bolinhas, e a relação que governa é: parte × número = constante (k). Quando um número cresce, a parte correspondente diminui na mesma proporção. Nesta questão, precisamos encontrar essa constante k a partir do total, depois calcular cada parte e subtraí-las.

O que a questão dá

  • total de bolinhas = 325

  • números dados = 5 e 8

O que queremos: a diferença entre as quantidades recebidas pelos dois filhos

Passo 1 — Montar as partes com a constante k

Como as partes são inversamente proporcionais a 5 e 8, o produto de cada parte pelo seu número é sempre o mesmo. Chamamos esse produto de k, que é a chave para achar as partes.

Por que esta fórmula: Na proporcionalidade inversa, se uma parte A corresponde ao número 5, então A × 5 = k, logo A = k/5. Analogamente, B = k/8. Essa é a definição de inversamente proporcional.

A=k5,B=k8A = \frac{k}{5}, \quad B = \frac{k}{8}

De onde vem cada valor: kk = constante de proporcionalidade (a descobrir) · 55 = enunciado: número dado para o primeiro filho · 88 = enunciado: número dado para o segundo filho

NÃO CAIA NESSA!

Confundir com diretamente proporcional e escrever A = 5k, B = 8k — isso inverte a lógica.

Passo 2 — Somar as partes e igualar ao total

A soma das duas partes é o total de bolinhas, 325. Isso nos dá uma equação para descobrir o valor de k.

Por que esta fórmula: Como A + B = 325, substituímos A e B pelas expressões do passo anterior: k/5 + k/8 = 325.

k5+k8=325\frac{k}{5} + \frac{k}{8} = 325

De onde vem cada valor: k5\frac{k}{5} = passo 1: parte A · k8\frac{k}{8} = passo 1: parte B · 325325 = enunciado: total de bolinhas

k5+k8=325\frac{k}{5} + \frac{k}{8} = 325
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar as duas frações e tentar resolver separadamente.

Passo 3 — Resolver a equação para achar k

Precisamos do valor de k para calcular cada parte. Para somar as frações, usamos o MMC dos denominadores.

Por que esta fórmula: O MMC de 5 e 8 é 40. Então k/5 = 8k/40 e k/8 = 5k/40. Somando, temos (8k + 5k)/40 = 13k/40. Igualando a 325, multiplicamos ambos os lados por 40 e dividimos por 13.

13k40=325⇒k=325×4013\frac{13k}{40} = 325 \Rightarrow k = \frac{325 \times 40}{13}

De onde vem cada valor: 1313 = soma dos numeradores: 8 + 5 · 4040 = MMC de 5 e 8 · 325325 = passo 2: total

k=325×4013=1300013=1000k = \frac{325 \times 40}{13} = \frac{13000}{13} = 1000
k=1000k = \boxed{1000}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o MMC ou inverter a operação (multiplicar por 13 em vez de dividir).

Passo 4 — Calcular a parte do primeiro filho

Com k = 1000, substituímos na expressão da parte A para descobrir quantas bolinhas o filho proporcional a 5 recebe.

Por que esta fórmula: Da definição, A = k/5. Como k = 1000, A = 1000/5 = 200.

A=k5A = \frac{k}{5}

De onde vem cada valor: kk = passo 3: 1000 · 55 = enunciado: número dado

A=10005=200=200 bolinhasA = \frac{1000}{5} = 200 = \boxed{200\ \text{bolinhas}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar k = 325 em vez de 1000, ou dividir 1000 por 8 aqui.

Passo 5 — Calcular a parte do segundo filho

Analogamente, substituímos k na expressão da parte B para achar a quantidade do filho proporcional a 8.

Por que esta fórmula: Da definição, B = k/8. Com k = 1000, B = 1000/8 = 125.

B=k8B = \frac{k}{8}

De onde vem cada valor: kk = passo 3: 1000 · 88 = enunciado: número dado

B=10008=125=125 bolinhasB = \frac{1000}{8} = 125 = \boxed{125\ \text{bolinhas}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 1000 por 5 aqui, trocando as partes.

Passo 6 — Subtrair as partes para achar a diferença

A pergunta pede a diferença entre as quantidades. Como o filho proporcional a 5 recebeu mais (200) e o de 8 recebeu menos (125), subtraímos o menor do maior.

Por que esta fórmula: A diferença é simplesmente A − B, pois A > B.

D=A−BD = A - B

De onde vem cada valor: AA = passo 4: 200 · BB = passo 5: 125

D=200−125=75=75 bolinhasD = 200 - 125 = 75 = \boxed{75\ \text{bolinhas}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário (125 − 200) e obter −75, ou esquecer de subtrair e marcar 200.

Resposta: 75 bolinhas (alternativa E)

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