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Questão de Matemática — Álgebra Linear — FGV 2023

MatemáticaÁlgebra Linear
Código
fg073863
Banca
FGV
Órgão
MPE-SP
Ano
2023
Nível
Superior
A diferença entre dois números inteiros positivos é 3 e a diferença entre os seus quadrados é 39.A soma desses números é igual a
  1. A13.
  2. B15.
  3. C17.
  4. D19.
  5. E21.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 13.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 13 (alternativa A).

A ideia por trás

A diferença de quadrados é um produto notável que relaciona a soma e a diferença de dois números: x² - y² = (x + y)(x - y). Ela aparece quando se subtrai o quadrado de um número do quadrado de outro, e é útil porque transforma uma operação com potências em uma multiplicação simples. Nesta questão, conhecemos a diferença (x - y) e a diferença dos quadrados (x² - y²), então a fatoração permite encontrar diretamente a soma (x + y) sem precisar descobrir cada número separadamente.

O que a questão dá

  • diferença entre os números = 3

  • diferença entre os quadrados = 39

O que queremos: a soma dos dois números

Passo 1 — Escrever a diferença de quadrados

O enunciado dá a diferença entre os números e a diferença entre os quadrados. O produto notável da diferença de quadrados liga exatamente essas duas informações com a soma que queremos, então é o ponto de partida.

Por que esta fórmula: Porque x² - y² = (x + y)(x - y) é uma identidade algébrica que vale para quaisquer números x e y. Ela é a única relação que envolve simultaneamente a diferença, a soma e a diferença dos quadrados.

x2−y2=(x+y)(x−y)x^{2} - y^{2} = (x + y)(x - y)

De onde vem cada valor: xx = enunciado: um dos números (o maior) · yy = enunciado: o outro número (o menor)

NÃO CAIA NESSA!

Confundir com (x - y)^2, que é x² - 2xy + y², e não a diferença de quadrados.

Passo 2 — Substituir os valores conhecidos

Agora que temos a identidade, substituímos os valores dados no enunciado para transformar a equação em algo que envolva apenas a soma desconhecida.

Por que esta fórmula: A fórmula já está pronta; basta trocar x² - y² por 39 e x - y por 3, conforme o enunciado.

39=(x+y)⋅339 = (x + y) \cdot 3

De onde vem cada valor: 3939 = enunciado: diferença entre os quadrados · 33 = enunciado: diferença entre os números

39=(x+y)⋅339 = (x + y) \cdot 3
NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem: colocar 3 no lugar de 39 e vice-versa.

Passo 3 — Isolar a soma dos números

A equação 39 = (x + y) · 3 tem a soma multiplicada por 3. Para descobrir a soma, precisamos desfazer essa multiplicação dividindo os dois lados por 3.

Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados por 3 é a operação inversa da multiplicação, isolando (x + y).

x+y=393x + y = \frac{39}{3}

De onde vem cada valor: 3939 = passo 2 · 33 = passo 2

x+y=393=13x + y = \frac{39}{3} = \boxed{13}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir os dois lados, ou dividir apenas um lado.

Resposta: 13 (alternativa A)

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