Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg074029

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 5/16 (alternativa A).

A ideia por trás

Probabilidade é a medida da chance de um evento ocorrer, variando de 0 (impossível) a 1 (certo). Em um dado viciado, as faces não têm a mesma chance; cada face tem sua própria probabilidade, mas a soma das probabilidades de todas as faces possíveis é sempre 1, pois algum resultado sempre ocorre. A relação fundamental é que a probabilidade de um evento é a soma das probabilidades das faces que o compõem. Nesta questão, precisamos descobrir a probabilidade de cada face (especialmente a das faces 2, 3, 4 e 5) usando a condição de que a soma total é 1, e então somar as probabilidades das faces 5 e 6 para obter a resposta.

O que a questão dá

P(face 1) = 1/8
P(face 6) = 1/8
P(face 2) = P(face 3) = P(face 4) = P(face 5) = p (iguais entre si)

O que queremos: a probabilidade de sair um número maior que 4, ou seja, sair 5 ou 6

Passo 1 — Montar a equação da soma das probabilidades

Como o dado sempre mostra uma face, a soma das probabilidades de todas as faces deve ser 1. Isso nos dá uma equação para descobrir o valor de p, que é a probabilidade de cada uma das faces 2, 3, 4 e 5.

Por que esta fórmula: A soma das probabilidades de todos os resultados possíveis de um experimento é sempre 1. Aqui, os resultados são as seis faces, então somamos as probabilidades de cada uma.

\frac{1}{8} + p + p + p + p + \frac{1}{8} = 1

De onde vem cada valor: $\frac{1}{8}$ = enunciado: probabilidade da face 6 · $p$ = enunciado: probabilidade de cada uma das faces 2, 3, 4 e 5 (iguais entre si)

\frac{1}{8} + p + p + p + p + \frac{1}{8} = 1

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir todas as seis faces na soma, ou usar probabilidades diferentes para as faces 2 a 5.

Passo 2 — Simplificar a equação somando os termos

Para resolver a equação, precisamos combinar os termos semelhantes: as duas frações 1/8 e os quatro p. Isso simplifica a equação e facilita o isolamento de p.

Por que esta fórmula: Somar frações com o mesmo denominador e somar termos semelhantes são operações básicas de álgebra.

\frac{2}{8} + 4p = 1

De onde vem cada valor: $\frac{2}{8}$ = passo 1: soma de 1/8 + 1/8 · $4p$ = passo 1: soma de p + p + p + p · $1$ = passo 1: soma total das probabilidades

\frac{2}{8} + 4p = 1

NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma das frações: 1/8 + 1/8 = 2/8, não 2/16.

Passo 3 — Isolar o termo com p

Para descobrir o valor de p, precisamos deixá-lo sozinho de um lado da equação. Subtraímos 2/8 (que é 1/4) dos dois lados.

Por que esta fórmula: Em uma equação, o que se faz de um lado deve ser feito do outro para manter a igualdade. Subtrair 2/8 dos dois lados isola o termo 4p.

4p = 1 - \frac{2}{8}

De onde vem cada valor: $4p$ = passo 2: termo com p · $1$ = passo 2: lado direito da equação · $\frac{2}{8}$ = passo 2: termo constante do lado esquerdo

4p = 1 - \frac{2}{8}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 2/8 dos dois lados, ou subtrair apenas de um lado.

Passo 4 — Calcular a subtração de frações

Precisamos simplificar o lado direito para obter um valor numérico para 4p. 1 pode ser escrito como 8/8 para subtrair de 2/8.

Por que esta fórmula: Para subtrair frações, elas devem ter o mesmo denominador. 1 = 8/8, então 8/8 - 2/8 = 6/8, que simplifica para 3/4.

4p = \frac{3}{4}

De onde vem cada valor: $4p$ = passo 3: termo com p · $\frac{3}{4}$ = passo 3: resultado de 1 - 2/8

4p = \frac{3}{4}

NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração: 1 - 2/8 = 6/8 = 3/4, não 3/8.

Passo 5 — Descobrir o valor de p

Agora que temos 4p = 3/4, dividimos ambos os lados por 4 para encontrar p, a probabilidade de cada uma das faces 2, 3, 4 e 5.

Por que esta fórmula: Para isolar p, dividimos pelo coeficiente 4. Dividir uma fração por um número inteiro é o mesmo que multiplicar pelo inverso.

p = \frac{3}{4} \div 4 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}

De onde vem cada valor: $\frac{3}{4}$ = passo 4: valor de 4p · $4$ = passo 4: coeficiente de p

p = \frac{3}{4} \div 4 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}

p = \boxed{3\ /16}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 4, ou dividir incorretamente: 3/4 ÷ 4 = 3/16, não 3/8.

Passo 6 — Calcular a probabilidade de sair 5 ou 6

O evento 'maior que 4' inclui as faces 5 e 6. Já sabemos a probabilidade da face 5 (p = 3/16) e da face 6 (1/8). Somamos essas probabilidades, pois são eventos mutuamente exclusivos.

Por que esta fórmula: A probabilidade de um evento que é a união de resultados mutuamente exclusivos é a soma das probabilidades individuais.

P(5 \text{ ou } 6) = p + \frac{1}{8}

De onde vem cada valor: $p$ = passo 5: probabilidade da face 5 · $\frac{1}{8}$ = enunciado: probabilidade da face 6

P(5 \text{ ou } 6) = \frac{3}{16} + \frac{1}{8}

NÃO CAIA NESSA!

Usar p para a face 6 também, esquecendo que a face 6 tem probabilidade 1/8.

Passo 7 — Somar as frações com denominador comum

Para somar 3/16 e 1/8, precisamos que os denominadores sejam iguais. 1/8 é equivalente a 2/16, então somamos os numeradores.

Por que esta fórmula: Frações só podem ser somadas diretamente se tiverem o mesmo denominador. Convertemos 1/8 para 2/16.

P(5 \text{ ou } 6) = \frac{3}{16} + \frac{2}{16} = \frac{5}{16}

De onde vem cada valor: $\frac{3}{16}$ = passo 6: probabilidade da face 5 · $\frac{2}{16}$ = passo 6: probabilidade da face 6 convertida

P(5 \text{ ou } 6) = \frac{3}{16} + \frac{2}{16} = \frac{5}{16} = \boxed{5\ /16}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter 1/8 para 2/16 e somar 3/16 + 1/8 = 3/16 + 2/16 = 5/16, mas errar a conversão.

Resposta: 5/16 (alternativa A)

Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Montar a equação da soma das probabilidades

Passo 2 — Simplificar a equação somando os termos

Passo 3 — Isolar o termo com p

Passo 4 — Calcular a subtração de frações

Passo 5 — Descobrir o valor de p

Passo 6 — Calcular a probabilidade de sair 5 ou 6

Passo 7 — Somar as frações com denominador comum