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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

MatemáticaProbabilidade
Código
fg074074
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de São José dos Campos - SP
Ano
2023
Nível
Médio
Em uma urna há 8 bolas verdes e 6 bolas amarelas, todas igualmente prováveis de serem sorteadas aleatoriamente.Três bolas são sorteadas aleatoriamente, em sequência e sem reposição.A probabilidade de que as duas primeiras bolas sorteadas sejam verdes e que a terceira seja amarela é igual a
  1. A3/14.
  2. B2/13.
  3. C1/12.
  4. D2/5.
  5. E3/4.
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GabaritoB — 2/13.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 2/13 (alternativa B).

A ideia por trás

Probabilidade é a chance de um evento acontecer, calculada como casos favoráveis divididos pelos casos possíveis. Quando retiramos bolas sem reposição, a urna muda a cada sorteio: o total diminui e a quantidade da cor sorteada também. Por isso, a probabilidade de uma sequência é o produto das probabilidades de cada etapa, sempre atualizando os números. Nesta questão, precisamos multiplicar as probabilidades de cada retirada, considerando que a cada passo a urna tem menos bolas.

O que a questão dá

  • 8 bolas verdes

  • 6 bolas amarelas

  • total inicial = 14 bolas

  • 3 retiradas sem reposição

O que queremos: a probabilidade de sortear verde, verde e amarela, nessa ordem

Passo 1 — Calcular a chance da primeira ser verde

A primeira retirada define o ponto de partida: há 8 bolas verdes entre 14 totais. A probabilidade é o número de verdes dividido pelo total.

Por que esta fórmula: Probabilidade de um evento é casos favoráveis sobre casos possíveis. Aqui, favoráveis são as 8 verdes, possíveis são as 14 bolas.

P(V1)=814P(V_1) = \frac{8}{14}

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: 8 bolas verdes · 1414 = enunciado: 8 + 6 = 14 bolas no total

P(V1)=814=8 /14P(V_1) = \frac{8}{14} = \boxed{8\ /14}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 14 como denominador nas etapas seguintes, esquecendo que o total diminui.

Passo 2 — Calcular a chance da segunda ser verde

Como a primeira foi verde e não há reposição, agora há 7 verdes e 13 bolas no total. A probabilidade é condicional: depende do que já saiu.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: favoráveis (7 verdes restantes) sobre possíveis (13 bolas restantes).

P(V2∣V1)=713P(V_2|V_1) = \frac{7}{13}

De onde vem cada valor: 77 = passo 1: 8 verdes - 1 retirada = 7 · 1313 = passo 1: 14 totais - 1 retirada = 13

P(V2∣V1)=713=7 /13P(V_2|V_1) = \frac{7}{13} = \boxed{7\ /13}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 8/14 de novo, como se houvesse reposição.

Passo 3 — Calcular a chance da terceira ser amarela

Depois de duas verdes, as amarelas continuam 6, mas o total caiu para 12. A probabilidade é a razão entre as amarelas restantes e o total restante.

Por que esta fórmula: Favoráveis: 6 amarelas (não foram retiradas). Possíveis: 12 bolas restantes (14 - 2).

P(A3∣V1∩V2)=612P(A_3|V_1 \cap V_2) = \frac{6}{12}

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: 6 bolas amarelas (não retiradas) · 1212 = passo 2: 13 - 1 = 12 bolas restantes

P(A3∣V1∩V2)=612=6 /12P(A_3|V_1 \cap V_2) = \frac{6}{12} = \boxed{6\ /12}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 6/14, esquecendo que o total diminuiu.

Passo 4 — Multiplicar as três probabilidades

A probabilidade de uma sequência de eventos dependentes é o produto das probabilidades de cada etapa. Multiplicamos as frações obtidas.

Por que esta fórmula: Regra do produto para eventos dependentes: P(A e B e C) = P(A) × P(B|A) × P(C|A e B).

P=814×713×612P = \frac{8}{14} \times \frac{7}{13} \times \frac{6}{12}

De onde vem cada valor: 814\frac{8}{14} = passo 1 · 713\frac{7}{13} = passo 2 · 612\frac{6}{12} = passo 3

P=814×713×612=336 /2184P = \frac{8}{14} \times \frac{7}{13} \times \frac{6}{12} = \boxed{336\ /2184}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar apenas os numeradores e denominadores sem simplificar, ou errar a ordem.

Passo 5 — Simplificar a fração resultante

Para comparar com as alternativas, precisamos da fração irredutível. Simplificamos dividindo numerador e denominador pelo mesmo número.

Por que esta fórmula: Simplificação de frações: dividir ambos os termos pelo MDC. Aqui, 336 e 2184 têm MDC 168.

336÷1682184÷168=213\frac{336 \div 168}{2184 \div 168} = \frac{2}{13}

De onde vem cada valor: 336336 = passo 4: numerador do produto · 21842184 = passo 4: denominador do produto

336÷1682184÷168=213=2 /13\frac{336 \div 168}{2184 \div 168} = \frac{2}{13} = \boxed{2\ /13}
NÃO CAIA NESSA!

Simplificar apenas um dos termos, ou não simplificar completamente.

Resposta: 2/13 (alternativa B)

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