Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg074076

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 3/8 (alternativa E).

A ideia por trás

A área de uma figura plana mede a porção do plano que ela ocupa, em unidades quadradas. No quadrado, a área é o produto dos lados; no triângulo, é metade do produto da base pela altura. Quando um triângulo é formado por pontos sobre os lados de um quadrado, sua área pode ser calculada diretamente, mas muitas vezes é mais fácil calculá-la por exclusão: subtraímos da área total do quadrado as áreas dos triângulos retângulos que ficam de fora. Essa estratégia evita achar a base e a altura do triângulo inclinado, que não são imediatas. Nesta questão, o triângulo AMN é formado por dois pontos médios e um vértice; a área dele é a diferença entre a área do quadrado e a soma das áreas dos três triângulos retângulos que sobram. Como a fração pedida independe do tamanho do quadrado, podemos adotar lado unitário para simplificar as contas.

O que a questão dá

lado do quadrado = L (adotamos L = 1)
M é ponto médio de BC, logo BM = MC = 1/2
N é ponto médio de CD, logo CN = ND = 1/2

O que queremos: a fração da área do quadrado ocupada pelo triângulo AMN

Passo 1 — Atribuir lado unitário ao quadrado

A fração da área não depende do tamanho do quadrado, então podemos escolher um valor conveniente. Usar lado 1 facilita os cálculos, pois a área do quadrado fica 1 e as frações das áreas dos triângulos saem diretamente.

L = \boxed{1}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a fração independe do lado e tentar usar uma letra, complicando as contas sem necessidade.

Passo 2 — Calcular a área do quadrado

A área do quadrado é a referência para a fração. Com lado 1, a área é 1, o que simplifica a subtração final.

Por que esta fórmula: A área de um quadrado é o produto do lado por ele mesmo, pois é um retângulo de lados iguais.

A_{ABCD} = L \times L

De onde vem cada valor: $L$ = passo 1: L = 1

A_{ABCD} = 1 \times 1 = \boxed{1}

NÃO CAIA NESSA!

Usar a fórmula do retângulo com lados diferentes, mas aqui os lados são iguais.

Passo 3 — Calcular a área do triângulo ABM

O triângulo AMN é a parte do quadrado que sobra depois de retirar três triângulos retângulos. O primeiro deles é o ABM, que tem vértice em A, B e M. Precisamos da área dele para subtrair.

Por que esta fórmula: O triângulo ABM é retângulo em B, com catetos AB e BM. A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos.

A_{ABM} = \frac{1}{2} \times AB \times BM

De onde vem cada valor: $AB$ = enunciado: lado do quadrado, vale 1 (passo 1) · $BM$ = enunciado: M é ponto médio de BC, logo BM = 1/2

A_{ABM} = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2} = \boxed{1\ /4}

NÃO CAIA NESSA!

Confundir os catetos: usar BC em vez de BM, ou esquecer o fator 1/2.

Passo 4 — Calcular a área do triângulo ADN

O segundo triângulo a retirar é o ADN, que tem vértices em A, D e N. Ele também é retângulo, e sua área entra na soma das áreas excluídas.

Por que esta fórmula: O triângulo ADN é retângulo em D, com catetos AD e DN. A área é metade do produto dos catetos.

A_{ADN} = \frac{1}{2} \times AD \times DN

De onde vem cada valor: $AD$ = enunciado: lado do quadrado, vale 1 (passo 1) · $DN$ = enunciado: N é ponto médio de CD, logo DN = 1/2

A_{ADN} = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2} = \boxed{1\ /4}

NÃO CAIA NESSA!

Usar CN em vez de DN, ou esquecer que DN = 1/2.

Passo 5 — Calcular a área do triângulo CMN

O terceiro triângulo a retirar é o CMN, que tem vértices em C, M e N. Ele é o menor dos três, e sua área também precisa ser subtraída.

Por que esta fórmula: O triângulo CMN é retângulo em C, com catetos CM e CN. A área é metade do produto dos catetos.

A_{CMN} = \frac{1}{2} \times CM \times CN

De onde vem cada valor: $CM$ = enunciado: M é ponto médio de BC, logo CM = 1/2 · $CN$ = enunciado: N é ponto médio de CD, logo CN = 1/2

A_{CMN} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \boxed{1\ /8}

NÃO CAIA NESSA!

Usar 1 em vez de 1/2 para um dos catetos, ou esquecer o fator 1/2.

Passo 6 — Somar as áreas dos três triângulos

Para saber quanto da área do quadrado está fora do triângulo AMN, precisamos somar as áreas dos três triângulos retângulos que calculamos. Essa soma será subtraída da área total.

Por que esta fórmula: A soma das áreas parciais é a área total excluída. Aqui somamos frações com denominadores diferentes, então precisamos igualar os denominadores.

A_{fora} = A_{ABM} + A_{ADN} + A_{CMN}

De onde vem cada valor: $A_{ABM}$ = passo 3: 1/4 · $A_{ADN}$ = passo 4: 1/4 · $A_{CMN}$ = passo 5: 1/8

A_{fora} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \boxed{5\ /8}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter 1/4 para 2/8 antes de somar, resultando em 3/8 em vez de 5/8.

Passo 7 — Subtrair a área excluída da área total

A área do triângulo AMN é o que resta do quadrado depois de retirar os três triângulos. Subtraindo a soma das áreas excluídas da área total, obtemos a área procurada.

Por que esta fórmula: A área do triângulo AMN é a diferença entre a área do quadrado e a soma das áreas dos triângulos que ficam de fora. Isso porque os triângulos ABM, ADN e CMN, junto com AMN, preenchem o quadrado sem sobreposição.

A_{AMN} = A_{ABCD} - A_{fora}

De onde vem cada valor: $A_{ABCD}$ = passo 2: 1 · $A_{fora}$ = passo 6: 5/8

A_{AMN} = 1 - \frac{5}{8} = \boxed{3\ /8}

NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário (5/8 - 1), o que daria negativo, ou esquecer de converter 1 em 8/8.

Resposta: 3/8 (alternativa E)

Questão de Matemática — Triângulos — FGV 2023

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Atribuir lado unitário ao quadrado

Passo 2 — Calcular a área do quadrado

Passo 3 — Calcular a área do triângulo ABM

Passo 4 — Calcular a área do triângulo ADN

Passo 5 — Calcular a área do triângulo CMN

Passo 6 — Somar as áreas dos três triângulos

Passo 7 — Subtrair a área excluída da área total