Questão de Raciocínio Lógico — Trigonometria — FGV 2023

Geometria: soma dos ângulos internos de um triângulo

Gabarito: letra B. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre $180^\circ$. Com base no enunciado, temos o sistema de equações: $2\hat{A} = \hat{B} + \hat{C}$ e $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ$. Substituindo a primeira na segunda, temos $\hat{A} + 2\hat{A} = 180^\circ$, logo $3\hat{A} = 180^\circ$, resultando em $\hat{A} = 60^\circ$.

O problema exige a aplicação da propriedade fundamental da geometria plana que estabelece que a soma dos ângulos internos de um triângulo é constante. O enunciado fornece uma relação linear entre os ângulos, permitindo a resolução por substituição simples.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Se $\hat{A} = 45^\circ$, então $2\hat{A} = 90^\circ$. Pela soma dos ângulos, $\hat{B} + \hat{C} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Como $90^\circ \neq 135^\circ$, a condição do enunciado não é satisfeita.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ Gabarito

Conforme demonstrado, se $\hat{A} = 60^\circ$, então $2\hat{A} = 120^\circ$. A soma dos outros dois ângulos será $\hat{B} + \hat{C} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Como $120^\circ = 120^\circ$, a igualdade proposta pelo enunciado é verdadeira.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Se $\hat{A} = 75^\circ$, então $2\hat{A} = 150^\circ$. A soma dos outros ângulos seria $\hat{B} + \hat{C} = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$. Como $150^\circ \neq 105^\circ$, a alternativa está incorreta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Se $\hat{A} = 90^\circ$, então $2\hat{A} = 180^\circ$. A soma dos outros ângulos seria $\hat{B} + \hat{C} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Como $180^\circ \neq 90^\circ$, a alternativa é falsa.

Gabarito: letra B