Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Triângulos — FGV 2023

MatemáticaTriângulos
Código
fg074230
Banca
FGV
Órgão
SEE-MG
Ano
2023
Nível
Fundamental
Considere um triângulo ABC. Um ponto D está sobre o lado AC de modo que CD = 2AD. Um ponto E está sobre o lado AB de modo que BE = 2AE.A razão entre as áreas dos triângulos ABC e ADE vale
  1. A9,00.
  2. B4,00.
  3. C2,25.
  4. D2,00.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 9,00.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a A razão entre as áreas dos triângulos ABC e ADE é 9,00 (alternativa A)..

A ideia por trás

Quando dois triângulos são semelhantes, a razão entre suas áreas é o quadrado da razão de semelhança. A semelhança ocorre quando os ângulos correspondentes são iguais e os lados correspondentes são proporcionais. Nesta questão, os pontos D e E dividem os lados AC e AB na mesma proporção, criando um triângulo ADE semelhante ao ABC. A razão de semelhança é a fração que AD representa de AC (ou AE de AB), e a razão entre as áreas é o quadrado dessa fração.

O que a questão dá

  • CD = 2AD

  • BE = 2AE

O que queremos: a razão entre as áreas dos triângulos ABC e ADE

Passo 1 — Descobrir a razão AD/AC

Precisamos da razão entre os lados correspondentes dos triângulos ADE e ABC. Como D está sobre AC e CD = 2AD, o segmento AC é a soma de AD e CD, então podemos expressar AD como uma fração de AC.

Por que esta fórmula: A razão de semelhança k é a razão entre lados correspondentes. Aqui, AD corresponde a AC, então k = AD/AC.

AC=AD+CDAC = AD + CD

De onde vem cada valor: ACAC = enunciado: lado AC do triângulo · ADAD = enunciado: segmento AD · CDCD = enunciado: CD = 2AD

AC=AD+2ADAC = AD + 2AD
AC=3 ADAC = \boxed{3\ \text{AD}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que AC é a soma de AD e CD, e não apenas AD.

Passo 2 — Calcular a razão de semelhança

Com AC = 3AD, podemos encontrar a fração que AD representa de AC, que é a razão de semelhança entre os triângulos.

Por que esta fórmula: A razão de semelhança k é a razão entre lados correspondentes: k = AD/AC.

k=ADACk = \frac{AD}{AC}

De onde vem cada valor: ADAD = enunciado: segmento AD · ACAC = passo 1: AC = 3AD

k=AD3ADk = \frac{AD}{3AD}
k=13k = \boxed{\frac{1}{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a razão CD/AD = 2 em vez de AD/AC = 1/3.

Passo 3 — Elevar a razão ao quadrado

A razão entre as áreas de triângulos semelhantes é o quadrado da razão de semelhança. Por isso, precisamos elevar k ao quadrado.

Por que esta fórmula: Para figuras semelhantes, a razão entre áreas é o quadrado da razão entre lados correspondentes.

AADEAABC=k2\frac{A_{ADE}}{A_{ABC}} = k^{2}

De onde vem cada valor: AADEA_{ADE} = área do triângulo ADE · AABCA_{ABC} = área do triângulo ABC · kk = passo 2: k = 1/3

AADEAABC=(13)2\frac{A_{ADE}}{A_{ABC}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2}
AADEAABC=19\frac{A_{ADE}}{A_{ABC}} = \boxed{\frac{1}{9}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado e usar k = 1/3 diretamente como razão de áreas.

Passo 4 — Inverter a razão para ABC/ADE

A questão pede a razão entre as áreas de ABC e ADE, que é o inverso da razão que calculamos.

Por que esta fórmula: Se a razão entre as áreas de ADE e ABC é 1/9, então a razão entre ABC e ADE é o inverso: 9/1.

AABCAADE=1AADEAABC\frac{A_{ABC}}{A_{ADE}} = \frac{1}{\frac{A_{ADE}}{A_{ABC}}}

De onde vem cada valor: AADEAABC\frac{A_{ADE}}{A_{ABC}} = passo 3: 1/9

AABCAADE=119=9\frac{A_{ABC}}{A_{ADE}} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = \boxed{9}
NÃO CAIA NESSA!

Responder 1/9 em vez de 9, por não inverter a razão.

Resposta: A razão entre as áreas dos triângulos ABC e ADE é 9,00 (alternativa A).

Link permanente: /questoes/fg074230