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Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2023

MatemáticaRaciocínio Lógico
Código
fg074233
Banca
FGV
Órgão
SEE-MG
Ano
2023
Nível
Fundamental
Dado um número racional N, diz-se que o seu inverso é o número racional M tal que N x M = 1. Considere a seguinte sequência de operações:1ª Ao inverso de um número racional P, acrescenta-se 1.2ª Ao inverso do resultado obtido na operação anterior, acrescenta-se 1.3ª Ao inverso do resultado obtido na operação anterior, acrescenta-se 1.Se o resultado obtido é 1,55, o valor de P está entre
  1. A0 e 1.
  2. B1 e 2.
  3. C2 e 4.
  4. D4 e 8.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 4 e 8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a P = 4,5, que está entre 4 e 8. Alternativa D..

A ideia por trás

O inverso multiplicativo de um número racional não nulo x é 1/x, pois x · (1/x) = 1. Nesta questão, aplicamos três vezes a operação 'inverter e somar 1' a partir de P, obtendo 1,55. Para achar P, o caminho mais eficiente é desfazer cada operação de trás para frente: subtrair 1 e depois inverter, pois a última operação foi somar 1.

O que a questão dá

  • resultado final = 1,55

  • sequência: 3 vezes (inverter e somar 1)

O que queremos: o valor de P e o intervalo em que ele se encontra

Passo 1 — Subtrair 1 do resultado final

A última operação da sequência foi somar 1. Para desfazê-la, subtraímos 1 do resultado final, obtendo o valor que foi invertido na terceira etapa.

Por que esta fórmula: Se y = z + 1, então z = y - 1. Aqui, y = 1,55 e z é o valor antes da soma.

z=1,55−1z = 1{,}55 - 1

De onde vem cada valor: 1,551{,}55 = enunciado: resultado final · 11 = enunciado: a operação de somar 1

z=1,55−1=0,55z = 1{,}55 - 1 = \boxed{0{,}55}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 1 e tentar inverter direto, o que levaria a um valor errado.

Passo 2 — Inverter o valor obtido

O valor 0,55 é o inverso de x₂, ou seja, x₂ = 1/0,55. Precisamos inverter para encontrar x₂.

Por que esta fórmula: Se a = 1/b, então b = 1/a. Aqui, a = 0,55, então b = 1/0,55.

x2=10,55x_2 = \frac{1}{0{,}55}

De onde vem cada valor: 0,550{,}55 = passo 1

x2=10,55=2011x_2 = \frac{1}{0{,}55} = \boxed{\frac{20}{11}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter 0,55 como 55/100 e simplificar errado; lembre-se de que 0,55 = 55/100 = 11/20, então o inverso é 20/11.

Passo 3 — Subtrair 1 novamente

A segunda operação também foi somar 1, então subtraímos 1 de x₂ para obter o valor que foi invertido na segunda etapa.

Por que esta fórmula: Mesma lógica do passo 1: se y = z + 1, então z = y - 1.

z2=2011−1z_2 = \frac{20}{11} - 1

De onde vem cada valor: 2011\frac{20}{11} = passo 2 · 11 = enunciado: a operação de somar 1

z2=2011−1=911z_2 = \frac{20}{11} - 1 = \boxed{\frac{9}{11}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair 1 de forma incorreta: 20/11 - 1 = (20-11)/11 = 9/11.

Passo 4 — Inverter o valor obtido

O valor 9/11 é o inverso de x₁, então x₁ = 1/(9/11) = 11/9.

Por que esta fórmula: Inverso de uma fração: 1/(a/b) = b/a.

x1=1911x_1 = \frac{1}{\frac{9}{11}}

De onde vem cada valor: 911\frac{9}{11} = passo 3

x1=1911=119x_1 = \frac{1}{\frac{9}{11}} = \boxed{\frac{11}{9}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração errado: 1/(9/11) = 11/9, não 9/11.

Passo 5 — Subtrair 1 pela última vez

A primeira operação também foi somar 1, então subtraímos 1 de x₁ para obter o valor que foi invertido no início, que é 1/P.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: se y = z + 1, então z = y - 1.

z3=119−1z_3 = \frac{11}{9} - 1

De onde vem cada valor: 119\frac{11}{9} = passo 4 · 11 = enunciado: a operação de somar 1

z3=119−1=29z_3 = \frac{11}{9} - 1 = \boxed{\frac{2}{9}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair 1 de forma incorreta: 11/9 - 1 = (11-9)/9 = 2/9.

Passo 6 — Inverter para achar P

O valor 2/9 é o inverso de P, ou seja, 1/P = 2/9. Para achar P, invertemos: P = 9/2 = 4,5.

Por que esta fórmula: Se 1/P = a, então P = 1/a.

P=129P = \frac{1}{\frac{2}{9}}

De onde vem cada valor: 29\frac{2}{9} = passo 5

P=129=4,5P = \frac{1}{\frac{2}{9}} = \boxed{4{,}5}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter errado: 1/(2/9) = 9/2 = 4,5, não 2/9.

Resposta: P = 4,5, que está entre 4 e 8. Alternativa D.

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