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Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — FGV 2023

MatemáticaÁreas e Perímetros
Código
fg074246
Banca
FGV
Órgão
SEE-MG
Ano
2023
Nível
Superior
A área S de um hexágono regular convexo pode ser calculada pela fórmulaS = 3L²/ 2 √3Em um hexágono regular convexo de área 9/8 √3cm² , a distância que separa dois lados paralelos quaisquer é de
  1. A0,75cm.
  2. B1,00cm.
  3. C1,25cm.
  4. D1,50cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 1,50cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 1,50 cm (alternativa D).

A ideia por trás

O hexágono regular é uma figura plana com seis lados iguais e seis ângulos internos iguais. Ele pode ser dividido em seis triângulos equiláteros congruentes, cada um com lado igual ao lado do hexágono. A área total é a soma das áreas desses triângulos, e a distância entre dois lados paralelos é o dobro da altura de um desses triângulos equiláteros, que também é o dobro do apótema do hexágono. A fórmula da área é S = (3L²√3)/2, onde L é o lado. A distância entre lados paralelos é d = L√3, que vem da altura do triângulo equilátero: h = (L√3)/2, e a distância é 2h = L√3. Nesta questão, usamos a área dada para encontrar L e depois calculamos d.

O que a questão dá

  • área S = 9/8 √3 cm²

  • fórmula da área: S = 3L²√3 / 2

O que queremos: a distância entre dois lados paralelos do hexágono regular

Passo 1 — Igualar a área à fórmula

Precisamos descobrir o lado L do hexágono, pois a distância entre lados paralelos depende dele. A área já é dada, então igualamos a fórmula da área ao valor fornecido para montar uma equação.

Por que esta fórmula: A fórmula da área do hexágono regular é S = (3L²√3)/2, pois ele é formado por 6 triângulos equiláteros de lado L, cada um com área (L²√3)/4.

3L232=983\frac{3L^{2}\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{8}\sqrt{3}

De onde vem cada valor: LL = incógnita, lado do hexágono · 983\frac{9}{8}\sqrt{3} = enunciado: área S

3L232=983\frac{3L^{2}\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{8}\sqrt{3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de cancelar √3 corretamente, ou errar a álgebra ao multiplicar por 2.

Passo 2 — Isolar L ao quadrado

A equação tem L² multiplicado por constantes; precisamos isolá-lo para achar L. Isso é feito dividindo ambos os lados pelos coeficientes.

Por que esta fórmula: Para isolar L², dividimos ambos os lados por 3√3/2, o que equivale a multiplicar por 2/(3√3).

L2=983332=98⋅23=34L^{2} = \frac{\frac{9}{8}\sqrt{3}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{9}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{4}

De onde vem cada valor: 983\frac{9}{8}\sqrt{3} = passo 1 · 332\frac{3\sqrt{3}}{2} = coeficiente de L² na fórmula

L2=98⋅23=34L^{2} = \frac{9}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{4}
L2=3 /4cm2L^{2} = \boxed{3\ /4 \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão de frações, por exemplo, inverter a fração errada.

Passo 3 — Extrair a raiz quadrada

Temos L², mas precisamos de L. A raiz quadrada de ambos os lados dá o valor do lado.

Por que esta fórmula: Como L é positivo (comprimento), L = √(3/4).

L=34=32L = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

De onde vem cada valor: 34\frac{3}{4} = passo 2

L=34=32L = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
L=√3/2cmL = \boxed{√3/2 \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que √(3/4) = √3/2, e não √3/4.

Passo 4 — Calcular a distância entre lados paralelos

A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é o dobro da altura de um triângulo equilátero de lado L. Essa altura é o apótema do hexágono, e a distância é o diâmetro do círculo inscrito, ou seja, 2 vezes o apótema.

Por que esta fórmula: A altura de um triângulo equilátero de lado L é h = (L√3)/2. Como a distância entre lados paralelos é 2h, temos d = L√3.

d=L3d = L\sqrt{3}

De onde vem cada valor: LL = passo 3 · 3\sqrt{3} = constante da altura do triângulo equilátero

d=32⋅3=32d = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2}

d = 3/2 cm = 1,50 cm

NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas a altura do triângulo (L√3/2) e esquecer de multiplicar por 2, obtendo 0,75 cm.

Resposta: 1,50 cm (alternativa D)

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