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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

MatemáticaProbabilidade
Código
fg074249
Banca
FGV
Órgão
SEE-MG
Ano
2023
Nível
Superior
Em uma competição esportiva, o time A enfrentará o time B quatro vezes seguidas. Em cada uma das partidas, a probabilidade de que o time A vença o time B é 0,6.A probabilidade de que o time A vença apenas duas vezes é de
  1. A5,76%.
  2. B11,52%.
  3. C23,04%.
  4. D34,56%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 34,56%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 34,56% (alternativa D).

A ideia por trás

A distribuição binomial modela experimentos repetidos e independentes com dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) e probabilidade de sucesso constante. Ela responde perguntas do tipo 'qual a chance de obter exatamente k sucessos em n tentativas?'. A fórmula é P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k), onde C(n,k) é o número de combinações de k sucessos em n tentativas, p é a probabilidade de sucesso e (1-p) a de fracasso. O fator combinatório é essencial: sem ele, calculamos a probabilidade de uma ordem específica, não de qualquer ordem. Nesta questão, queremos exatamente 2 vitórias em 4 jogos, então aplicamos a binomial com n=4, k=2 e p=0,6.

O que a questão dá

  • n = 4 partidas

  • p = 0,6 (probabilidade de A vencer cada partida)

  • k = 2 (número de vitórias desejado)

O que queremos: a probabilidade de o time A vencer exatamente 2 das 4 partidas

Passo 1 — Calcular a probabilidade de fracasso

Precisamos da probabilidade de A não vencer (fracasso) para usar na fórmula binomial, pois ela aparece elevada a (n-k). Como cada partida só tem dois resultados, a probabilidade de fracasso é o complemento da de sucesso.

Por que esta fórmula: A probabilidade de um evento e seu complemento somam 1, então q = 1 - p.

q=1−pq = 1 - p

De onde vem cada valor: pp = enunciado: 0,6

q=1−0,6=0,4q = 1 - 0{,}6 = \boxed{0{,}4}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de calcular q e usar 0,6 no lugar de 0,4 na parte de derrotas.

Passo 2 — Calcular o número de combinações

A fórmula binomial exige o fator C(n,k), que conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher quais 2 das 4 partidas serão vencidas. Sem ele, calculamos apenas a probabilidade de uma ordem específica.

Por que esta fórmula: Combinação é usada porque a ordem das vitórias não importa: vencer a 1ª e 3ª é o mesmo que vencer a 3ª e 1ª.

C(n,k)=n!k!⋅(n−k)!C(n,k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

De onde vem cada valor: nn = enunciado: 4 partidas · kk = enunciado: 2 vitórias

C(4,2)=4!2!⋅2!=242⋅2=6=6C(4{,}2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6 = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (4·3=12) em vez de combinação, contando ordens diferentes como se fossem distintas.

Passo 3 — Calcular a probabilidade de uma sequência específica

A fórmula binomial multiplica a probabilidade de uma sequência específica (p^k · q^(n-k)) pelo número de sequências possíveis. Primeiro calculamos a parte da sequência.

Por que esta fórmula: Cada vitória tem probabilidade p e cada derrota q, e como as partidas são independentes, multiplicamos as probabilidades.

Pseq=pk⋅qn−kP_{seq} = p^k \cdot q^{n-k}

De onde vem cada valor: pp = passo 1: 0,6 · kk = enunciado: 2 · qq = passo 1: 0,4 · nn = enunciado: 4

Pseq=0,62⋅0,42=0,36⋅0,16=0,0576=0,0576P_{seq} = 0{,}6^{2} \cdot 0{,}4^{2} = 0{,}36 \cdot 0{,}16 = 0{,}0576 = \boxed{0{,}0576}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado e usar 0,6·0,4 = 0,24, ou inverter os expoentes.

Passo 4 — Multiplicar pelo número de combinações

A probabilidade de uma sequência específica (por exemplo, vencer as duas primeiras) não é a resposta; precisamos considerar todas as 6 maneiras de escolher 2 vitórias entre 4 partidas.

Por que esta fórmula: Como as sequências são mutuamente exclusivas, somamos suas probabilidades, o que equivale a multiplicar a probabilidade de uma sequência pelo número de sequências.

P(X=2)=C(4,2)⋅PseqP(X=2) = C(4{,}2) \cdot P_{seq}

De onde vem cada valor: C(4,2)C(4{,}2) = passo 2: 6 · PseqP_{seq} = passo 3: 0,0576

P(X=2)=6⋅0,0576=0,3456=0,3456P(X=2) = 6 \cdot 0{,}0576 = 0{,}3456 = \boxed{0{,}3456}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 6 e marcar 5,76% (alternativa A).

Resposta: 34,56% (alternativa D)

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