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Questão de Matemática — Sistemas de Numeração e Operações Fundamentais — FGV 2023

MatemáticaSistemas de Numeração e Operações Fundamentais
Código
fg074251
Banca
FGV
Órgão
SEE-MG
Ano
2023
Nível
Superior
Um número N, quando dividido por 7, deixa resto 2. Um número M, menor que N, quando dividido por 7, deixa resto 5.Se N – M for dividido por 7, o resto da divisão será
  1. A5.
  2. B4.
  3. C3.
  4. D2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 4.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a O resto é 4, alternativa B..

A ideia por trás

Quando dividimos um número por outro, o resto é o que sobra, sempre entre 0 e o divisor menos 1. Na divisão por 7, os restos possíveis são 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Se um número deixa resto r, ele pode ser escrito como múltiplo do divisor mais r. A aritmética dos restos (congruência) permite operar com os restos separadamente: a soma ou diferença de dois números tem resto igual à soma ou diferença dos restos, ajustada para ficar no intervalo válido. Nesta questão, subtraímos os restos de N e M; como o resultado dá negativo, somamos o divisor até obter um resto entre 0 e 6.

O que a questão dá

  • N dividido por 7 deixa resto 2

  • M dividido por 7 deixa resto 5

  • M é menor que N

O que queremos: o resto da divisão de N – M por 7

Passo 1 — Escrever N e M na forma de divisão

Para operar com os restos, precisamos expressar cada número como múltiplo de 7 mais seu resto. Isso separa a parte que é divisível por 7 da que sobra.

Por que esta fórmula: Todo número dividido por 7 pode ser escrito como 7 vezes o quociente mais o resto, pois o resto é o que sobra da divisão.

N=7⋅q1+2N = 7 \cdot q_1 + 2

De onde vem cada valor: 77 = divisor do enunciado · q1q_1 = quociente inteiro (não precisamos saber o valor) · 22 = enunciado: resto da divisão de N por 7

N=7⋅q1+2N = 7 \cdot q_1 + 2
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o resto é sempre menor que o divisor; aqui, 2 é válido.

Passo 2 — Escrever M na forma de divisão

Assim como N, M também pode ser escrito como múltiplo de 7 mais seu resto. Precisamos das duas formas para subtrair.

Por que esta fórmula: Mesma lógica do passo anterior: todo número dividido por 7 tem a forma 7 vezes o quociente mais o resto.

M=7⋅q2+5M = 7 \cdot q_2 + 5

De onde vem cada valor: 77 = divisor do enunciado · q2q_2 = quociente inteiro (não precisamos saber o valor) · 55 = enunciado: resto da divisão de M por 7

M=7⋅q2+5M = 7 \cdot q_2 + 5
NÃO CAIA NESSA!

Confundir os restos: N tem resto 2, M tem resto 5.

Passo 3 — Subtrair as duas expressões

Queremos o resto de N – M. Subtraindo as formas de N e M, separamos a parte múltipla de 7 da parte que sobra.

Por que esta fórmula: A subtração de dois números escritos como múltiplo mais resto resulta em múltiplo mais a diferença dos restos.

N−M=7⋅(q1−q2)+(2−5)N - M = 7 \cdot (q_1 - q_2) + (2 - 5)

De onde vem cada valor: NN = passo 1 · MM = passo 2 · q1−q2q_1 - q_2 = diferença dos quocientes · 2−52 - 5 = diferença dos restos

N−M=7⋅(q1−q2)−3N - M = 7 \cdot (q_1 - q_2) - 3
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de distribuir o sinal de menos: (2 - 5) = -3, não 3.

Passo 4 — Ajustar o resto negativo para o intervalo válido

O resto de uma divisão por 7 não pode ser negativo; deve estar entre 0 e 6. Como obtivemos –3, somamos 7 para encontrar o resto equivalente.

Por que esta fórmula: Somando o divisor (7) a um resto negativo, obtemos um resto positivo equivalente, pois adicionar múltiplos de 7 não altera o resto da divisão.

r=−3+7r = -3 + 7

De onde vem cada valor: −3-3 = passo 3: diferença dos restos · 77 = divisor

r=−3+7=4r = -3 + 7 = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Tomar o valor absoluto de –3 (3) em vez de somar 7; o resto correto é 4.

Resposta: O resto é 4, alternativa B.

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