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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2023

MatemáticaGeometria Analítica
Código
fg074254
Banca
FGV
Órgão
SEE-MG
Ano
2023
Nível
Superior
Considere os pontos A, B e C, no plano cartesiano, tais que A(0,7), B(3,3) e C(m,7).Se a distância de A até B é igual à distância de A até C, então m pode ser igual a
  1. A6.
  2. B5.
  3. C4.
  4. D3.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a m = 5 (alternativa B).

A ideia por trás

A distância entre dois pontos no plano cartesiano é o comprimento do segmento de reta que os une. Ela é calculada pela fórmula d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²), que vem do Teorema de Pitágoras: as diferenças das coordenadas formam os catetos de um triângulo retângulo, e a distância é a hipotenusa. Quando dois pontos têm a mesma ordenada (mesmo y), a distância entre eles é simplesmente o módulo da diferença das abscissas, pois o cateto vertical é zero. Nesta questão, A e C têm y = 7, então a distância AC é |m - 0| = |m|. Igualando essa distância à distância AB, que é 5, obtemos |m| = 5, o que dá m = 5 ou m = -5. A alternativa correta é a que apresenta um desses valores.

O que a questão dá

  • A(0,7)

  • B(3,3)

  • C(m,7)

  • d(A,B) = d(A,C)

O que queremos: o valor de m que satisfaz a igualdade das distâncias

Passo 1 — Calcular a distância de A até B

Precisamos saber o valor da distância entre A e B, pois ela será igual à distância entre A e C. A distância entre dois pontos é o comprimento do segmento que os une, calculado pela fórmula da distância, que vem do Teorema de Pitágoras.

Por que esta fórmula: A fórmula da distância entre dois pontos P(x₁,y₁) e Q(x₂,y₂) é d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²). Ela é a aplicação direta do Teorema de Pitágoras: as diferenças das coordenadas são os catetos e a distância é a hipotenusa.

d(A,B) = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2)

De onde vem cada valor: xAx_A = enunciado: A(0,7) · yAy_A = enunciado: A(0,7) · xBx_B = enunciado: B(3,3) · yBy_B = enunciado: B(3,3)

d(A,B) = sqrt(3-0)^2 + (3-7)^2 = sqrt3^2 + (-4)^2 = √(9+16) = √(25) = 5
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado as diferenças ou errar o sinal ao subtrair as coordenadas.

Passo 2 — Calcular a distância de A até C

Agora precisamos da distância entre A e C, que também é dada pela mesma fórmula. Como A e C têm a mesma ordenada (y = 7), a distância é simplesmente a diferença das abscissas, o que simplifica o cálculo.

Por que esta fórmula: Usamos a mesma fórmula da distância, mas notamos que y_C - y_A = 0, então a distância se reduz a |x_C - x_A| = |m - 0| = |m|.

d(A,C) = √((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2)

De onde vem cada valor: xAx_A = enunciado: A(0,7) · yAy_A = enunciado: A(0,7) · xCx_C = enunciado: C(m,7) · yCy_C = enunciado: C(m,7)

d(A,C) = sqrt(m-0)^2 + (7-7)^2 = √(m^2 + 0) = sqrtm^2 = |m| = |m|
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a raiz quadrada de m² é o módulo de m, não m. Isso leva a perder a solução negativa.

Passo 3 — Igualar as duas distâncias

O enunciado diz que as distâncias são iguais, então igualamos os valores obtidos nos passos 1 e 2. Isso nos dá uma equação para encontrar m.

Por que esta fórmula: Igualamos d(A,B) = d(A,C), ou seja, 5 = |m|. Essa é a condição do problema.

5=∣m∣5 = |m|

De onde vem cada valor: 55 = passo 1 · ∣m∣|m| = passo 2

5=∣m∣5 = |m|
∣m∣=5|m| = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a equação modular tem duas soluções: m = 5 e m = -5.

Passo 4 — Resolver a equação modular

A equação |m| = 5 significa que a distância de m até 0 na reta numérica é 5. Portanto, m pode ser 5 ou -5. Precisamos listar as soluções para ver qual alternativa é correta.

Por que esta fórmula: A definição de módulo: |x| = a (com a ≥ 0) implica x = a ou x = -a.

m=5oum=−5m = 5 \quad \text{ou} \quad m = -5

De onde vem cada valor: 55 = passo 3 · −5-5 = passo 3

m=5oum=−5m = 5 \quad \text{ou} \quad m = -5

m = 5 ou m = -5

NÃO CAIA NESSA!

Considerar apenas a solução positiva, esquecendo que o módulo também admite o valor negativo.

Passo 5 — Escolher a alternativa correta

A questão pede um valor possível para m. Das soluções encontradas, apenas m = 5 aparece nas alternativas. Portanto, a alternativa B é a correta.

m=5 (alternativaB)m = \boxed{5\ (\text{alternativa} \text{B})}
NÃO CAIA NESSA!

Marcar m = 6 ou m = 4 por pensar em somar/subtrair 1 da distância, em vez de resolver a equação modular.

Resposta: m = 5 (alternativa B)

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