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Questão de Matemática — Triângulos — FGV 2023

MatemáticaTriângulos
Código
fg074442
Banca
FGV
Órgão
SMPOG de Belo Horizonte - MG
Ano
2023
Nível
Superior
O triângulo ABC possui lados com as seguintes medidas: AB = 13, AC = 9 e BC = 16.O ponto D do lado BC é tal que os triângulos ADB e ADC possuem mesmo perímetro.A razão entre as áreas dos triângulos ADB e ADC é
  1. A0,4.
  2. B0,5.
  3. C0,6.
  4. D0,8.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 0,6.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 0,6 (alternativa C).

A ideia por trás

A área de um triângulo mede o espaço que ele ocupa no plano, e é calculada como metade do produto da base pela altura. Quando dois triângulos compartilham a mesma altura, a razão entre suas áreas é exatamente a razão entre suas bases. Nesta questão, os triângulos ADB e ADC têm a mesma altura (a distância de A até a reta BC), então a razão entre as áreas é a razão entre BD e DC. O ponto D é determinado pela condição de que os perímetros dos dois triângulos sejam iguais, o que envolve os lados AB e AC e o segmento AD comum.

O que a questão dá

  • AB = 13

  • AC = 9

  • BC = 16

  • D sobre BC, perímetros de ADB e ADC iguais

O que queremos: a razão entre as áreas dos triângulos ADB e ADC

Passo 1 — Expressar os perímetros em função de BD

Precisamos usar a condição de que os perímetros são iguais para descobrir onde D está sobre BC. Como AD é comum aos dois triângulos, ele aparece nos dois perímetros e pode ser cancelado.

Por que esta fórmula: O perímetro de um triângulo é a soma de seus três lados. Para ADB, os lados são AB, BD e AD; para ADC, são AC, DC e AD. Como D está sobre BC, se BD = x, então DC = BC - x = 16 - x.

PADB=AB+BD+ADePADC=AC+DC+ADP_{ADB} = AB + BD + AD \quad \text{e} \quad P_{ADC} = AC + DC + AD

De onde vem cada valor: ABAB = enunciado: 13 · BDBD = definido como x · ADAD = comum aos dois triângulos · ACAC = enunciado: 9 · DCDC = BC - BD = 16 - x

PADB=13+x+ADePADC=9+(16−x)+ADP_{ADB} = 13 + x + AD \quad \text{e} \quad P_{ADC} = 9 + (16 - x) + AD
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que DC = 16 - x, usando DC = x.

Passo 2 — Igualar os perímetros e cancelar AD

A condição do enunciado é que os perímetros sejam iguais. Como AD aparece nos dois lados da equação, podemos subtraí-lo dos dois lados, simplificando o problema.

Por que esta fórmula: Igualamos as expressões dos perímetros e resolvemos para x. Cancelar AD é válido porque ele é o mesmo nos dois triângulos.

13+x+AD=25−x+AD13 + x + AD = 25 - x + AD

De onde vem cada valor: 1313 = passo 1: AB · xx = passo 1: BD · ADAD = passo 1: comum · 2525 = passo 1: 9 + 16 = 25 · −x-x = passo 1: -x de DC

13+x+AD=25−x+AD13 + x + AD = 25 - x + AD
NÃO CAIA NESSA!

Não cancelar AD corretamente, mantendo-o na equação.

Passo 3 — Resolver a equação para x

Com AD cancelado, ficamos com uma equação simples de primeiro grau. Isolar x nos dá a posição de D sobre BC.

Por que esta fórmula: A equação 13 + x = 25 - x é resolvida isolando x: somamos x dos dois lados e subtraímos 13, obtendo 2x = 12.

13+x=25−x⇒2x=12⇒x=613 + x = 25 - x \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6

De onde vem cada valor: 1313 = passo 2 · 2525 = passo 2 · 1212 = 25 - 13 = 12

2x=122x = 12
x=6x = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao mover x para o outro lado, resultando em x = 19.

Passo 4 — Calcular DC

Precisamos de DC para a razão entre as bases. Como BC = 16 e BD = 6, DC é a diferença.

Por que esta fórmula: D divide BC em dois segmentos, então BD + DC = BC. Isolamos DC.

DC=BC−BDDC = BC - BD

De onde vem cada valor: BCBC = enunciado: 16 · BDBD = passo 3: 6

DC=16−6DC = 16 - 6
DC=10DC = \boxed{10}
NÃO CAIA NESSA!

Usar BD = 10 e DC = 6, invertendo os valores.

Passo 5 — Calcular a razão entre as áreas

Como os triângulos ADB e ADC têm a mesma altura (a distância de A até BC), a razão entre suas áreas é a razão entre suas bases. Agora que conhecemos BD e DC, podemos calcular.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo é (base × altura)/2. Como a altura é a mesma, a razão das áreas é a razão das bases.

[ADB][ADC]=BDDC\frac{[ADB]}{[ADC]} = \frac{BD}{DC}

De onde vem cada valor: BDBD = passo 3: 6 · DCDC = passo 4: 10

610=0,6\frac{6}{10} = \boxed{0{,}6}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, calculando DC/BD = 10/6 ≈ 1,67.

Resposta: 0,6 (alternativa C)

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