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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2023

MatemáticaGeometria Analítica
Código
fg074443
Banca
FGV
Órgão
SMPOG de Belo Horizonte - MG
Ano
2023
Nível
Superior
No plano cartesiano, o ponto (k, 10) tem mesma distância ao eixo Y (eixo das ordenadas) e ao ponto (2, 0).O valor de k é
  1. A26.
  2. B24.
  3. C22.
  4. D20.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 26.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a k = 26 (alternativa A).

A ideia por trás

No plano cartesiano, a distância de um ponto a um eixo é a menor distância até qualquer ponto desse eixo. Para o eixo Y (reta x = 0), essa distância é simplesmente o módulo da coordenada x, |x|, pois é a distância horizontal até a reta. Já a distância entre dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é dada pela fórmula d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²), que vem do teorema de Pitágoras: a diferença das coordenadas forma os catetos de um triângulo retângulo, e a distância é a hipotenusa. Quando igualamos duas distâncias, podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz, desde que os lados sejam não negativos (o que sempre ocorre com distâncias). Nesta questão, precisamos igualar a distância do ponto (k, 10) ao eixo Y com a distância ao ponto (2, 0), montar a equação e resolvê-la para k.

O que a questão dá

  • ponto (k, 10)

  • eixo Y (eixo das ordenadas)

  • ponto (2, 0)

O que queremos: o valor de k

Passo 1 — Calcular a distância ao eixo Y

A distância de um ponto ao eixo Y é a distância horizontal até a reta x = 0. Como o ponto tem abscissa k, essa distância é o valor absoluto de k, pois distância nunca é negativa.

Por que esta fórmula: A distância de um ponto (x, y) ao eixo Y é |x|, porque o eixo Y é a reta vertical x = 0 e a distância é a diferença horizontal.

d1=∣k∣d_1 = |k|

De onde vem cada valor: kk = enunciado: ponto (k, 10)

d1=∣k∣=∣k∣d_1 = |k| = \boxed{|\text{k}|}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com a distância ao eixo X, que seria |10|. Aqui é ao eixo Y, então é |k|.

Passo 2 — Calcular a distância ao ponto (2, 0)

Precisamos da distância entre dois pontos, que é a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas. Isso vem do teorema de Pitágoras: a diferença em x e a diferença em y formam os catetos.

Por que esta fórmula: A fórmula da distância entre dois pontos é d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²), que é a aplicação direta do teorema de Pitágoras.

d_2 = √((k - 2)^2 + (10 - 0)^2)

De onde vem cada valor: kk = enunciado: ponto (k, 10) · 22 = enunciado: ponto (2, 0) · 1010 = enunciado: ponto (k, 10) · 00 = enunciado: ponto (2, 0)

d_2 = sqrt(k - 2)^2 + 10^2 = √((k - 2)^2 + 100)
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado a diferença das coordenadas, ou inverter a ordem dos pontos.

Passo 3 — Igualar as duas distâncias

A questão diz que as distâncias são iguais, então montamos a equação |k| = √((k-2)² + 100). Isso é necessário para encontrar o valor de k que satisfaz a condição.

Por que esta fórmula: Igualamos as duas expressões de distância, pois a condição do problema é que elas sejam iguais.

∣k∣=(k−2)2+100|k| = \sqrt{(k - 2)^{2} + 100}

De onde vem cada valor: ∣k∣|k| = passo 1 · (k−2)2+100\sqrt{(k - 2)^{2} + 100} = passo 2

∣k∣=(k−2)2+100|k| = \sqrt{(k - 2)^{2} + 100}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o módulo em |k|, o que pode levar a soluções incorretas.

Passo 4 — Elevar ambos os lados ao quadrado

Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado. Como distâncias são não negativas, a operação é válida e não introduz soluções estranhas.

Por que esta fórmula: Elevar ao quadrado é a forma de remover a raiz, pois (√a)² = a. Como |k|² = k², a equação fica sem módulo.

k2=(k−2)2+100k^{2} = (k - 2)^{2} + 100

De onde vem cada valor: k2k^{2} = passo 3: |k|² = k² · (k−2)2+100(k - 2)^{2} + 100 = passo 3: lado direito

k2=(k−2)2+100k^{2} = (k - 2)^{2} + 100
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que |k|² = k², ou não elevar corretamente o lado direito.

Passo 5 — Expandir o quadrado da diferença

Precisamos expandir (k - 2)² para simplificar a equação. Isso usa o produto notável (a - b)² = a² - 2ab + b².

Por que esta fórmula: O quadrado da diferença é uma identidade algébrica: (k - 2)² = k² - 4k + 4.

k2=k2−4k+4+100k^{2} = k^{2} - 4k + 4 + 100

De onde vem cada valor: k2k^{2} = passo 4: lado esquerdo · k2−4k+4k^{2} - 4k + 4 = expansão de (k - 2)² · 100100 = passo 4: constante

k2=k2−4k+4+100k^{2} = k^{2} - 4k + 4 + 100
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal do termo -4k, ou esquecer o termo +4.

Passo 6 — Simplificar e isolar k

Agora simplificamos a equação cancelando k² dos dois lados e resolvendo para k. Isso nos dá o valor procurado.

Por que esta fórmula: Subtraímos k² de ambos os lados, somamos as constantes e isolamos k.

0=−4k+1040 = -4k + 104

De onde vem cada valor: 00 = k² - k² · −4k-4k = passo 5: termo -4k · 104104 = passo 5: 4 + 100

0=−4k+1040 = -4k + 104
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma 4 + 100 = 104, ou esquecer de passar o -4k para o outro lado corretamente.

Passo 7 — Resolver a equação para k

Isolamos k para obter o valor numérico. Isso é a última operação algébrica.

Por que esta fórmula: Da equação 0 = -4k + 104, somamos 4k em ambos os lados e dividimos por 4.

4k=1044k = 104

De onde vem cada valor: 4k4k = passo 6: -4k + 4k · 104104 = passo 6: constante

4k=1044k = 104
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 104 por 4 errado, ou esquecer de dividir ambos os lados.

Passo 8 — Obter o valor de k

Dividimos 104 por 4 para encontrar k. Esse é o resultado final da equação.

Por que esta fórmula: k = 104 / 4 = 26.

k=1044k = \frac{104}{4}

De onde vem cada valor: 104104 = passo 7 · 44 = passo 7

k=1044=26k = \frac{104}{4} = \boxed{26}
NÃO CAIA NESSA!

Erro de divisão: 104 ÷ 4 = 26, não 24 ou outro valor.

Resposta: k = 26 (alternativa A)

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